da 13 a 22 c'è solo 0

[ma_go]

dimostrare che ogni mappa continua $ S^1\times S^3 \to S^2\times S^2 $ ha grado zero.
è vero che è omotopa ad una costante?

[Nonno Bassotto]

Per Kunneth $ H^2(S^1 \times S^3) = 0 $, di conseguenza la mappa $ f^{*} \colon H^2(S^2 \times S^2) \longrightarrow H^2(S^1 \times S^3) $ è nulla. D'altra parte se $ \, \alpha $ e $ \beta $ sono i generatori di $ H^2(S^2 \times S^2) $ allora $ \alpha \cup \beta $ genera $ H^2(S^2 \times S^2) $. Pertanto anche $ f^{*} \colon H^4(S^2 \times S^2) \longrightarrow H^4(S^1 \times S^3) $ è nulla, e la mappa ha grado 0.

Su un esempio non omotopo a costante ci penso.