un classico - algebra lineare

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

un classico - algebra lineare

Messaggio da ma_go » 19 ott 2009, 20:56

dimostrare che lo spazio dei polinomi a coefficienti reali non è isomorfo (come spazio vettoriale reale) allo spazio delle successioni a valori reali.

Tibor Gallai
Messaggi: 1776
Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12

Messaggio da Tibor Gallai » 20 ott 2009, 09:53

Il secondo è duale del primo, ergo ha dimensione strettamente maggiore. :shock:
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

Avatar utente
edriv
Messaggi: 1638
Iscritto il: 16 feb 2006, 19:47
Località: Gradisca d'Isonzo
Contatta:

Messaggio da edriv » 20 ott 2009, 13:58

Come si dimostra, a grandi linee?

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 20 ott 2009, 14:59

siamo sicuri che la cosa non sia ciclica?
cioè che per dimostrare il fatto generale non serva risolvere (una generalizzazione de) il problema originale?

Tibor Gallai
Messaggi: 1776
Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12

Messaggio da Tibor Gallai » 20 ott 2009, 15:03

Boh, io avevo questo fatto macroscopico che balenava nel cervello, poi non ricordo come si dimostri... Può essere.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

Avatar utente
Nonno Bassotto
Site Admin
Messaggi: 970
Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
Località: Paris
Contatta:

Messaggio da Nonno Bassotto » 20 ott 2009, 15:10

ma_go ha scritto:siamo sicuri che la cosa non sia ciclica?
cioè che per dimostrare il fatto generale non serva risolvere (una generalizzazione de) il problema originale?
Non ho capito cosa intendi. Comunque il succo della cosa sta nel dimostrare che la dimensione di uno spazio vettoriale e' ben definita, cosa che in generale richiede qualche forma di assioma della scelta (ad esempio induzione transfinita).

Nel caso particolare di questi due spazi si puo' anche usare
il teorema di Baire
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4756
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 20 ott 2009, 17:41

Mah, dipende quanta teoria vuoi usare. Ad esempio:

le successioni reali contengono come sottospazio vettoriale le successioni tali che $ \sum a_n^2<+\infty $ (ovvero $ \ell_2 $), che è uno spazio di Hilbert (classico risultato) infinito-dimensionale (le succesisoni definitivamente nulle vi appartengono) con la norma ovvia ($ \|\{a_n\}\|=\sqrt{\sum a_n^2} $); del resto, i polinomi hanno una base numerabile come spazio vettoriale e non esiste un Hilbert con base numerabile;

oppure

le successioni sono il prodotto di N volte R, i polinomi sono la somma diretta di N volte R e queste due cose sono distinte, per insiemi infiniti (ed R lo è);

Avatar utente
edriv
Messaggi: 1638
Iscritto il: 16 feb 2006, 19:47
Località: Gradisca d'Isonzo
Contatta:

Messaggio da edriv » 20 ott 2009, 20:02

Tibor Gallai ha scritto:Il secondo è duale del primo, ergo ha dimensione strettamente maggiore. :shock:
Ma non è assurdo, essendo la dualità involutiva?

Tibor Gallai
Messaggi: 1776
Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12

Messaggio da Tibor Gallai » 20 ott 2009, 20:05

Lo è (a meno di isom.) solo in dimensione finita.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 20 ott 2009, 21:08

EvaristeG ha scritto:[...]del resto, i polinomi hanno una base numerabile come spazio vettoriale e non esiste un Hilbert con base numerabile;

oppure

le successioni sono il prodotto di N volte R, i polinomi sono la somma diretta di N volte R e queste due cose sono distinte, per insiemi infiniti (ed R lo è);
mi sembra che ciascuno di questi due fatti sia sostanzialmente quello che chiedo.
allora o mi dimostri che $ \ell^\infty $ non è separabile (e allora mi sta bene, è una dimostrazione che parte da topologia abbastanza spiccia), oppure mi dimostri a scelta uno dei due fatti.

@nonno bassotto: non conosco la dimostrazione del fatto citato da tibor, cioè che il duale di uno spazio vettoriale abbia dimensione maggiore dello spazio di partenza (dimensione infinita), quindi non so dire se la dimostrazione del fatto generale sia una generalizzazione del(la dimostrazione che ho in mente io per il) caso particolare.
e comunque si può dimostrare senza parlare di dimensione infinita.

@edriv: se pensi al fatto che il duale di L^p è L^q (per q opportuno e per quasi tutti i p) o che un hilbert è auto-duale, occhio: c'è della continuità in tutto ciò...

Avatar utente
Nonno Bassotto
Site Admin
Messaggi: 970
Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
Località: Paris
Contatta:

Messaggio da Nonno Bassotto » 20 ott 2009, 22:40

beh, il secondo metodo che ho detto non usa nulla sulla dimensione
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 20 ott 2009, 23:00

sì, sì..
magari adesso provo a dimostrarlo usandolo, questo tuo suggerimento..

Avatar utente
Nonno Bassotto
Site Admin
Messaggi: 970
Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
Località: Paris
Contatta:

Messaggio da Nonno Bassotto » 21 ott 2009, 01:00

Fra l'altro non servono risultati generali per vedere che lo spazio delle successioni ha dimensione più che numerabile. È sufficiente trovare più che numerabili vettori linearmente indipendenti. Una possibile scelta è
l'insieme delle successioni della forma x^n, per il determinante di Vandermonde
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 21 ott 2009, 18:23

ecco, questo è il tipo di soluzione che cercavo :)
molto, molto intelligente, devo dire. chapeau.

Avatar utente
Nonno Bassotto
Site Admin
Messaggi: 970
Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
Località: Paris
Contatta:

Messaggio da Nonno Bassotto » 22 ott 2009, 17:23

Già che c'ero ho pensato anche al fatto generale che la dimensione di V* è maggiore della dimensione di V quando V ha dimensione infinita. È un fatto che ho sempre preso per buono, ma non mi ero mai preso la briga di dimostrarlo. Penso che si possa fare così.

Prima osservazione. Sia k un campo e V uno spazio vettoriale su k di dimensione >= cardinalità di k (e infinita). Allora dim V* > dim V.

Infatti in questo caso card V* > card V. Sia infatti E una base per V. Gli elementi di V* sono in corrispondenza con le funzioni da E a k, mentre gli elementi di V sono in corrispondenza con le funzioni da E a k a supporto finito. Ne segue che la cardinalità di V* è k^E, mentre la cardinalità di V è, se non sbaglio, pari alla cardinalità di E. Questo perché è un unione parametrizzata da E di cose di cardinalità al massimo E. Essendo E un cardinale infinito quest'unione dovrebbe avere cardinalità pari ad E (spero di non dire boiate). Chiaramente card E < 2^E <= card k^E.

Seconda osservazione. Siano h < k due campi. Se la tesi è vera per gli spazi vettoriali su h, allora è vera anche per quelli su k.

Infatti sia V uno spazio vettoriale su k, E una base. Le funzioni da E in h sono uno s. v. su h W con la proprietà che V è isomorfo all'estensione di W. Ogni funzionale da W in h si estende ad un funzionale da V a k. Pertanto
dim V = dim W < dim W* <= dim V*

Mettendo insieme le due osservazioni, ed usando il fatto che ogni campo contiene un campo di cardinalità al più numerabile (dunque <= di ogni cardinale infinito) si ottiene la tesi.

Boh, spero di non aver detto troppe cavolate...
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill

Rispondi