Curiosità, il tuo nome è Zermelo

[Tibor Gallai]

Faccio il verso a questo thread, perché voglio riprendere una questione che lì è stata toccata marginalmente, pur essendo secondo me l'unica cosa degna di nota in mezzo a una marea di flammate ("da che pulpito", dice qualcuno).

Si parla del paradosso dei numeri interessanti:

Fedecart: vergogna! Non esistono numeri non interessanti!
C'e' anche una famosa dimostarzione

Non funziona per i reali

Io penso invece che sia un problema aperto stabilire se quella dimostrazione "funzioni" anche per i reali, o no (ammettendo l'assioma della scelta). Fermo restando che si tratterebbe comunque di una dimostrazione fasulla, e quindi un modo ingannevole di argomentare.

Il punto è che, se si riuscisse a definire con una formula F un buon ordinamento sui reali (cioè un ordinamento totale dei reali tale che ogni sottoinsieme non vuoto abbia minimo), si potrebbe dire: se per assurdo esistesse un insieme non vuoto di numeri reali non interessanti, il loro elemento minimo secondo il buon ordinamento F sarebbe interessante. Sappiamo che un buon ordinamento sui reali esiste (conseguenza dell'assioma della scelta), ma non sappiamo esplicitarne uno a parole, quindi non sappiamo scrivere la nostra Dimostrazione Finta™.

Da dove sorge l'equivoco?

This version of the paradox applies only to well-ordered sets with a natural order, such as the natural numbers; the argument would not apply to the real numbers.

Qui Wikipedia sottointende che la dimostrazione non funziona sui reali se si usa l'ordinamento standard $ $\leq $! Ma se si esplicitasse un buon ordinamento sui reali, funzionerebbe eccome! Per quanto ne so, finora si è dimostrato che gli assiomi della teoria degli insiemi (compreso l'assioma della scelta) non sono sufficienti a dimostrare l'esistenza di una formula che esprima un buon ordinamento sui reali. Si dimostra l'esistenza del buon ordinamento, ma non l'esistenza di una sua formula, che potrebbe quindi esistere o meno.

Perciò, finché la questione non sarà risolta, non si potrà dire con certezza che il paradosso dei numeri interessanti non funzioni sui reali.

[SkZ]

Tecnicamente il fatto che non esista un aformula non esclude che non esista.
La primitiva della gaussiana esiste per definizione, ma non esiste una forma analitica che non faccia uso degli integrali.

In effetti il paradosso ha piu' senso usando la contraddizione che il minimo di un insieme non gli appartiene. L'altra versione che svuota l'insieme dei non interessanti e' tipo il paradosso de "l'esame a sorpresa la settimana prossima"

[Tibor Gallai]

Tecnicamente il fatto che non esista un aformula non esclude che non esista.
La primitiva della gaussiana esiste per definizione, ma non esiste una forma analitica che non faccia uso degli integrali.

Eh. Però non ho capito perché dici questo.
Un buon ordinamento dei reali esiste, questo si sa. Quindi ovviamente ne esistono taaaanti! Adesso immaginiamo che "x è interessante" significhi "esiste un predicato soddisfatto solo da x". Che è una definizione moooolto più generosa del necessario, infatti sui naturali non genera alcun paradosso. Dato n naturale, esiste banalmente un predicato soddisfatto solo da n. Esempio: n=37 è interessante perché le sue cifre decimali sono nell'ordine 3 e 7. Quindi per esempio per i naturali vorremmo aggiungere una limitazione sul numero di caratteri del predicato... Nei reali non ci interessa, tanto il paradosso c'è comunque, perché i predicati sono numerabili e i reali no.
Quando vogliamo dire "questo numero reale è interessante", dobbiamo allora avere un predicato soddisfatto solo da lui. Quindi non possiamo soltanto dire "x è il minimo reale non interessante rispetto ad un qualche buon ordinamento", perché questo non caratterizza univocamente un reale, ma in effetti è una proprietà banale di TUTTI i numeri del nostro insieme.
L'unico modo che abbiamo per uscirne, se vogliamo usare questo metodo del buon ordinamento, è allora riuscire a scrivere 'sto buon ordinamento con una formula. E questo è il problema aperto: esiste o non esiste una formula? Boh.

[Nonno Bassotto]

Prima di passare al paradosso dei numeri interessanti, che sembra piu' fumoso proprio per il problema di decidere che cos'e' interessante, c'e' un altro paradosso ben noto che e' piuttosto delicato ovvero il Paradosso di Berry.

Esercizio: dimostrare che ogni numero si puo' individuare con una frase in italiano di al massimo cento lettere.

Immagino che non sia difficile da formalizzare, e non ho mai sentito una versione convincente del perche' sia fallace. Non l'ho mai fatto,ma immagino che provare a formlizzarlo e vedere cosa fallisce sia un buon esercizio.

[fph]

Esercizio: dimostrare che ogni numero si puo' individuare con una frase in italiano di al massimo cento lettere.

Numero intero spero...

[Tibor Gallai]

Senza addentrarsi nei numeri di Goedel, che IMHO fanno solo perdere di vista l'intuizione (ma sarebbero il modo giusto di formalizzare, che poi porterebbe tra le altre cose al Teorema d'Incompletezza), si può pensare questo:

quando nel paradosso diciamo "individuare x" o "definire x" o "rappresentare x", stiamo intendendo qualcosa come "esiste un predicato P tale P(y) sse x=y".
Allora, la definizione paradossale "il minimo numero non individuabile" si traduce con l'introduzione del predicato:

P(x) = non esiste un predicato Q tale che Q(x), e per ogni y<x esiste un predicato R tale che R(y).

Se si fa l'ipotesi che esistano numeri non individuabili, P(x) ne individua uno: assurdo.
Ok, come definiamo "predicato" allora? Un modo è ammettere che la parola "predicato" sia nella sintassi dei predicati (altrimenti P non sarebbe un predicato, di per sé). Ma non solo, vogliamo che anche la semantica della parola "predicato" sia esprimibile nel linguaggio dei predicati, o non potremmo dire "Q(x) è vero" dentro a un predicato. Quindi vorremmo in sostanza che la frase "x è un predicato" sia un predicato. E qui si entra in un paradosso simile all'"insieme di tutti gli insiemi", dove si cerca di dare una definizione ricorsiva, che non è detto che "termini".
Un altro modo è sostituire la parola "predicato" e la valutazione dell'espressione "Q(x)" con delle formule opportune. Queste formule dovrebbero, tra le altre cose, essere soddisfatte da P stesso. Ma, poiché variando tali formule varia la forma di P, non è detto che esista un "punto fisso" che faccia quadrare tutto quanto. A tutto questo dobbiamo aggiungere la complicazione della lunghezza dei predicati (che finora non abbiamo considerato, ma fa parte del paradosso). Dentro il predicato P dobbiamo essere capaci di valutare la lunghezza di Q e di R, e dire che è minore o uguale della lunghezza finale di P. Anche questo contribuisce a complicare la funzione di cui cerchiamo il punto fisso. E visto il paradosso che creerebbe questo punto fisso, non c'è possibilità che esista.