Ho forse trovato quantomeno un modo per iniziare a ragionarci; ma sono quasi del tutto certo che qualche inghippo ci sia(precisamente c'è una parte che mi frulla ancora vaga), spero che forse si possa aggiustare(o quantomeno qualcuno posti una soluzione che è una domanda intrigante!).
L'idea in pratica è costruire induttivamente uno spazio in cui ci sia un denso numerabile dentro i cui punti sono caratterizzati da una proprietà che ha $ \aleph_0 $ possibilità ed è topologica; essere poi sicuri che sono i soli anche rispetto al resto dello spazio ad averla(qui serviranno delle cose sullo spazio ambiente in cui il nostro spazio deve essere immerso che renderanno ovvie questa cosa, che non mi sono ancora precisato, e se qualcuno me la sa dire, bene!), di modo che avrò che gli automorfismi lasciano sempre fissi un denso e quindi sono banali.
Ecco la proprietà vorrebbe essere:la massima cardinalità di un insieme di cose omeomorfe a segmenti che a due a due si intersecano nel solo punto. Nel modo in cui l'ho pensato mi serve un modo per non fare intersecare spazi di dimensione finita(piani ad esempio) in "infiniti modi"(dal tentativo di costruzione risulterà chiaro che intendo) quindi ho ritenuto opportuno considerare uno spazio euclideo di dimensione infinita(così sembra vago però per eventuali consigli su che spazio prendere leggi prima che voglio fare).Ora dico un pò che vorrei fare:
Partiziono N in numerabili insiemi numerabili.
Ora inizio da un segmento, prendo i punti a coordinate razionali per ogni punto faccio passare un piano in modo che i piani siano a due a due disgiunti: prendo un primo insieme dalla partizione di su e associo iniettivamente l'insieme ai punti razionali così che su ognuno dei piani relativi ad un punto faccio una stellina di segmenti centrata nel punto con tanti segmenti quanto il numero associato. Ora l'idea è di iterare sui segmenti di ciascuna stelletta in maniera che i piani fatti come su non si intersichino mai e quelli precedenti li tocchino solo dove conseguenza della costruzione,cioè nel centro della stelletta(e suppongo che se sto a dimensioni folli una costruzione numerabile del genere sia possibile, questa è la parte vaga...)ed avere così una solta di albero in cui i punti considerati mano mano(quelli razionali su ciascun segmentino) siano sempre distinguibili dal massimo numero di segmenti a stellina di cui sono centro, e quindi non possono che restare fermi con automorfismi,il che comporta per densità che gli altri pure restano fermi.Si capisce cosa ho detto?E' realizzabile una cosa del genere? C'è qualche magagna strutturale irrimediabile in questa aspirante costruzione? Mentre aspetto il pubblico linciaggio vado a prendermi un moment
p.s: mi pare che uno spazio ambiente come quello che serve per questo discorso non sia ostacolato ad essere haussdorf; così quindi lo spazio costruito
