SNS 1991-1992/1 plus

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
g(n)
Messaggi: 109
Iscritto il: 14 ott 2007, 19:24
Località: Codroipo, il paese più anagrammato d'Italia

SNS 1991-1992/1 plus

Messaggio da g(n) » 13 ago 2009, 12:17

(i) Provare che, per ogni intero $ n\geq 2 $, si ha

$ \displaystyle\sqrt[n]{n!}<\frac{n+1}2 $

e che $ \frac{n+1}2 $ non è mai multiplo intero di $ \sqrt[n]{n!} $

(ii) Trovare la massima costante $ k $ tale che $ \forall n $ $ kn < \sqrt[n]{n!} $

PS L'ho messo in MNE perchè per la (ii) non ho usato metodi strettamente olimpici

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 13 ago 2009, 17:33

questo vuol dire che non possiamo usare la formula di Stirling? :(
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da ma_go » 13 ago 2009, 19:42

secondo me era un invito a usare proprio stirling per il secondo punto, mentre diceva "no, guardate che stirling non serve per il primo" (anzi, in realtà con stirling non si dimostra molto, nel primo punto.. cioè, sì, ma lavorandoci un po').

fede90
Messaggi: 287
Iscritto il: 04 apr 2007, 21:36
Località: Udine

Re: SNS 1991-1992/1 plus

Messaggio da fede90 » 13 ago 2009, 21:10

g(n) da casa di Fede ha scritto:Ma usando la formula di Stirling viene in un attimo :!: (o perlomeno se è sottoforma di disuguaglianza...)

Se vi riferite alla dimostrazione della formula, non la conosco...ho semplicemente trovato questa stima, che è più debole di Stirling. Se poi la stima è banale mi scuso, ma l'ho trovata interessante...al massimo lasciatela ai meno esperti
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 13 ago 2009, 22:23

diciamo che agli universitari piace andare di Stirling perche'
1) semplifica alcune cose
2) puoi finalmente usarla! :twisted: (e abusarne :roll: )

generalmente la formula di Stirling si esprime come limite
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

didudo
Messaggi: 123
Iscritto il: 22 mag 2009, 10:45
Località: pisa

Messaggio da didudo » 13 ago 2009, 23:59

$ \displaystyle\sqrt[n]{n!}=\sqrt[n]{1*2*...*n} $ cioè questa è la media geometrica dei primi n naturali.$ \frac{n+1}2=\frac{1+2+...+n}n=\frac{n(n+1)}2n $ questa è la media aritmetica dei primi n naturali che è sempre maggiore della GM.
$ n!=2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}*...*p^{a_m} $e si dimostra facilmente che esiste sempre un $ a_i $minore di n,quindi $ \displaystyle\sqrt[n]{n!}= $ è irrazionale,e $ \frac{n+1}2 $ non può essere un multiplo intero di un irrazionale.il 2 mi sembra un po' più incazzoso...
pensavo fosse il forum "belli e abbronzati"....

Avatar utente
Maioc92
Messaggi: 778
Iscritto il: 21 apr 2009, 21:07
Località: REGGIO EMILIA

Messaggio da Maioc92 » 14 ago 2009, 00:31

per il punto 1a ok, per il 2a forse è meglio non darlo per scontato...
didudo ha scritto:si dimostra facilmente che esiste sempre un $ a_i $minore di n
ad esempio io farei cosi:
poichè p è il più grande numero primo minore o uguale a n, il numero $ 2*3*5.....*p+1 $ è maggiore di n. Quindi $ 2*3*5....*p\ge n $, ovvero $ (2*3*5...*p)^n\ge n^n>n! $. Pertanto è impossibile che tutti gli esponenti siano maggiori o uguali a n
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 14 ago 2009, 02:40

oppure con quel p e il postulato di bernard. tanto siamo in MNE
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

g(n)
Messaggi: 109
Iscritto il: 14 ott 2007, 19:24
Località: Codroipo, il paese più anagrammato d'Italia

Messaggio da g(n) » 14 ago 2009, 12:17

Ma usando Stirling, che è sottoforma di limite, come si fa a dimostrare che per ogni $ {n} $ vale la disuguaglianza al punto (ii)? (ovviamente col $ k $ apposito)

ma_go
Site Admin
Messaggi: 1906
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Re: SNS 1991-1992/1 plus

Messaggio da ma_go » 14 ago 2009, 12:36

g(n) da casa di Fede ha scritto:Ma usando la formula di Stirling viene in un attimo :!: (o perlomeno se è sottoforma di disuguaglianza...)

Se vi riferite alla dimostrazione della formula, non la conosco...ho semplicemente trovato questa stima, che è più debole di Stirling. Se poi la stima è banale mi scuso, ma l'ho trovata interessante...al massimo lasciatela ai meno esperti
g(n) ha scritto:Ma usando Stirling, che è sottoforma di limite, come si fa a dimostrare che per ogni n vale la disuguaglianza al punto (ii)? (ovviamente col k apposito)
mumble.. ti vedo un po' confuso :)
secondo me basta limite+monotonia (o speranza di monotonia, perché se non è vero quello sono cazzi, imho).

g(n)
Messaggi: 109
Iscritto il: 14 ott 2007, 19:24
Località: Codroipo, il paese più anagrammato d'Italia

Messaggio da g(n) » 14 ago 2009, 13:26

Pensavo che con "usare Stirling" si intendesse usare una presunta "disuguaglianza di Stirling" del tipo $ \displaystyle n!>{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\sqrt{2\pi n} $ che chiaramente, unita al limite, sistemava tutto subito (e in effetti su Wikipedia si trova qualcosa di simile)

Ovviamente se si usa Stirling solo come limite serve anche la monotonia o qualcos'altro, comunque come ho già detto non sono passato da qui per la soluzione

PS Non ho mai nominato Stirling così tante volte in vita mia :)

g(n)
Messaggi: 109
Iscritto il: 14 ott 2007, 19:24
Località: Codroipo, il paese più anagrammato d'Italia

Messaggio da g(n) » 14 ago 2009, 16:01

Comunque se proprio non state nella pelle va bene anche Stirling+monotonia :D

Tibor Gallai
Messaggi: 1776
Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12

Messaggio da Tibor Gallai » 25 ago 2009, 00:17

SkZ ha scritto:postulato di bernard
Bertrand. :o
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Messaggio da jordan » 26 ago 2009, 10:40

Possiamo usare una forma di Stirling molto più forte di quella citata: $ \ln(n!)=n\ln(n)-n+\frac{1}{2}\ln(2\pi n)+(12n)^{-1}+O(n^{-2}) $..
La dimostrazione è tutt'altro che difficile, usa soltanto una formula di sommazione parziale e una proprietà del prodotto di Wallis (se poi si vuole anche quel 1/12n servono sviluppi in serie di Fourier, anltrimenti ci possiamo anche accontentare di un O(1/n)..)
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 26 ago 2009, 18:00

Tibor Gallai ha scritto:
SkZ ha scritto:postulato di bernard
Bertrand. :o
considerato che, data la mia inesistente memoria per i nomi, ho controllato su wiki prima il nome, qualcuno mi spiega come ho fatto a sbagliare in quel modo a scriverlo :?
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Rispondi