Volume solido di rotazione

[stefano88]

Lo so che questo forum non è il posto ideale per preparare esami universitari, ma se qualcuno di voi ha voglia di aiutare un ex-olimpionico caduto in disgrazia lo ringrazierei molto.
Il quesito è semplice: dato il dominio D = {$ (x,y) | 0 \leq y\leq 1, \sqrt y \leq z \leq 1 $} tocca trovare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di D attorno all'asse z.

Io avevo intrapreso una via "grafica" che mi portava alla soluzione di $ \frac {\pi} {3} $. Invece sulle soluzioni del prof è uscito fuori che il volume si calcolava con la formula $ 2\pi\int_{0}^1\int_{\sqrt y}^1\,y\,dz\,dy $ , che porta poi ad una soluzione invece di $ \frac {\pi} {5} $.

La seconda strada è davvero quella giusta e porta alla soluzione corretta?

[jordan]

Lo so che questo forum non è il posto ideale per preparare esami universitari...

Appunto

..dato il dominio D = {$ (x,y) | 0 \leq y\leq 1, \sqrt y \leq z \leq 1 $}...

... si calcolava con la formula $ 2\pi\int_{0}^1\int_{\sqrt y}^1\,y\,dz\,dy $ ...

Ammesso che abbia inteso cosa intendi, così com'è scritta è sbagliata anche quella

E poi, è anche roba da sapere al liceo

[Giulius]

Non so scrivere gli integrali in tex cmq usando la nota formula per il solido di rotazione attorno a z
V=pi*(integrale da 0 a 1 di f(z)^2 dz)
con f(z)^2=z^4 ottengo
V=pi(1^5/5-0^5/5)=pi/5

(così come è il dominio che hai scritto è sbagliato ci vuole la z non la x, almeno credo)

[SkZ]

in coordinate cilindriche dovrebbe essere
$ $V=2\pi\int_0^1\int_{\sqrt{\rho}}^1\textrm{d}z\rho\textrm{d}\rho $

[stefano88]

In effetti il dominio coinvolgeva y e z e non la x, colpa mia che in brutta ho scritto quella cavolata e l'ho copiata pure qui.
Grazie dei vari suggerimenti, vedrò di metterli in pratica anche perchè esercizi come questi solo una capra negli integrali come me può non farli.