Densita` densa (own)

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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 02 lug 2009, 17:47

Sono io che non capisco, veramente. Non ho capito la tua costruzione, proprio a livello di formule.
Puoi spiegarla in italiano?

In ogni caso, sono convinto che appena proverai a dimostrare che la tua costruzione funziona, troverai l'errore, qualunque esso sia.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 02 lug 2009, 17:51

Credo che intenda questa operazione: quando si trova un $ x $ tale che $ \displaystyle\frac{c(x)}x>\alpha $, allora lo si butta via e poi si continua reiterando il procedimento. In questo modo vorrebbe sostenere che "alla fine" l'insieme ha densità $ \alpha $.
Purtroppo sorgono due problemi:
1) quando butti via un tale $ x $ nulla ti assicura che la lower densità continui a rimanere $ \alpha $ e per caso non diminuisca;
2) il procedimento non ha necessariamente termine (anzi, quasi mai).
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 02 lug 2009, 18:07

Beh, il (2) di per sé non è un problema, perché basta prendere l'intersezione di tutti gli (infiniti) S generati da ogni iterazione.
Il problema è soltanto che non puoi garantire che l'alfa dell'intersezione sia positivo e non 0, o addirittura che l'intersezione abbia una densità ben definita (col limite...).
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Messaggio da kn » 02 lug 2009, 18:13

grazie, adesso ho capito :D
Però dobbiamo eliminare l'ipotesi che la lower densità possa essere un estremo superiore non maggiorante, quindi la definizione perde di nuovo senso :lol:
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Messaggio da Tibor Gallai » 02 lug 2009, 18:36

Come esempio esplicito di S, consideriamo l'insieme dei naturali la cui espressione decimale comincia per 1. Allora la lower density di S è 1/9, ma nessun rapporto di elementi di S è compreso tra 2 e 5.
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Messaggio da Tibor Gallai » 02 lug 2009, 18:55

kn ha scritto:Però dobbiamo eliminare l'ipotesi che la lower densità possa essere un estremo superiore non maggiorante, quindi la definizione perde di nuovo senso :lol:
Nuovamente, non capisco cosa vuoi dire. :cry:
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Messaggio da kn » 02 lug 2009, 19:13

Il mio stupido ragionamento:
Supponiamo che S ammetta lower densità $ \displaystyle~\alpha $, con $ \displaystyle~\alpha $ maggiorante dei reali che rispettano la proprietà di edriv. Chiamiamo ora $ \displaystyle~c'(\cdot) $ la funzione $ \displaystyle~c(\cdot) $ riferita a S' (mentre $ \displaystyle~c(\cdot) $ la lasciamo riferita a S). $ \displaystyle~\forall y>x $ vale $ \displaystyle~c'(y)=c(y)-1 $, quindi $ \displaystyle~\frac{c'(y)}{y}=\frac{c(y)}{y}-\frac{1}{y}\ge \alpha-\frac{1}{y} $. Pertanto in S' la proprietà di edriv è soddisfatta da ogni $ \displaystyle~\alpha-\frac{1}{m} $, con $ \displaystyle~m\in\mathbb{N} $, e l'estremo superiore è $ \displaystyle~\alpha $. Quindi la lower densità è di nuovo $ \displaystyle~\alpha $.
Naturalmente questo discorso è sbagliato, perché non vale più alla prossima iterazione... (dato che $ \displaystyle~\alpha $ non è più maggiorante) :oops:

EDIT: @TG: ora i miei dubbi sono risolti e come ho scritto il mio ragionamento era errato (in poche parole... un delirio) :shock: :lol:
Ultima modifica di kn il 02 lug 2009, 19:56, modificato 2 volte in totale.
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Messaggio da Tibor Gallai » 02 lug 2009, 19:40

Secondo me stiamo delirando sempre di più. :cry:

In questo modo hai dimostrato che il punto (1) di FeddyStra non può sussistere, se ho capito bene quel che dici. Buon per te, ma la cosa non risolve i dubbi di fondo: la definizione di edriv di lower density è ben posta, ed inoltre ogni insieme S ha una lower density ben definita, ma non necessariamente una densità ben definita (nel senso di stefanos). Se S ha una densità secondo stefanos, ha una lower density secondo edriv, e le due densità coincidono. In questo caso, se le densità sono positive, i rapporti di elementi di S sono densi in Q (claim). Se S non ha una densità secondo stefanos, può capitare che i rapporti non siano densi in Q, come dimostra il mio esempio qua sopra.

Tutti gli altri discorsi sono un delirio pazzesco, secondo me.
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Messaggio da Tibor Gallai » 02 lug 2009, 20:09

kn ha scritto:Naturalmente questo discorso è sbagliato, perché non vale più alla prossima iterazione... (dato che $ \displaystyle~\alpha $ non è più maggiorante) :oops:

EDIT: @TG: ora i miei dubbi sono risolti e come ho scritto il mio ragionamento era errato (in poche parole... un delirio) :shock: :lol:
Allora, il motivo per cui parlavo di deliri sempre più contorti è questo: il ragionamento è giusto, è la conclusione che ne trai ad essere sbagliata. Sempre se capisco bene cosa sta succedendo...
In pratica, hai correttamente dimostrato (a meno di dettagli) che togliendo un numero finito di elementi da S, la sua densità non cambia, sia secondo stefanos che secondo edriv.
Quindi non puoi concludere alla fine che "non vale più alla prossima iterazione", o che "alfa non è più maggiorante" (quest'ultima cosa è doppiamente errata, probabilmente perché mal interpreti la definizione di maggiorante). L'unica cosa che puoi concludere è che il tuo algoritmo non può terminare con un numero finito di iterazioni.
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