Serie di Taylor - Maturità 2009 problema 1 PNI

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Davide90
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Serie di Taylor - Maturità 2009 problema 1 PNI

Messaggio da Davide90 » 27 giu 2009, 11:06

Così recita l'inizio del problema 1 della prova del PNI 2009:

Sia $ \displaystyle f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}\right)\cdot e^{-x} $ .
Nel punto 2 chiede di dimostrare che se n è dispari, $ f(x)\leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R} $.

Io ho scritto prima la soluzione canonica corretta con la derivata prima, massimo relativo in x=0, f(x) continua su R dunque f(0) è anche massimo assoluto, e f(0)=1; dunque la tesi.

Poi, ricordando vagamente che l'espressione in parentesi è lo sviluppo in serie di Taylor di $ e^x $ arrestato al termine di grado n, ho detto anche che in effetti la prima parentesi era $ \leq e^x $ se n era dispari, in quanto il primo termine che trascuravo era elevato ad n+1 (pari) e dunque era positivo, ed era il contributo maggiore che trascuravamo. Dunque $ f(x)\leq e^x\cdot e^{-x} =1 $ .

Però direi di avere detto una fesseria dal punto di vista algebrico nella parte in corsivo: infatti quello che ho detto è valido per $ x\geq-n $ , poichè se x è negativo e abbastanza grande, i termini con segno negativo pesano più di quelli positivi.

Quello che ho detto è giusto? :roll:
Ultima modifica di Davide90 il 27 giu 2009, 14:15, modificato 1 volta in totale.
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
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uchiak
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Re: Serie di Taylor - Maturità 2009 problema 1 PNI

Messaggio da uchiak » 27 giu 2009, 14:05

Io utilizzerei la Formula di Taylor con il Resto di Lagrange:
$ \displaystyle e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}= $ $ \displaystyle 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+e^c\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $, dove $ c \in (0,x) $ oppure $ c \in (x,0) $ a seconda del segno di x.
Se n è dispari n+1 è pari, quindi $ \displaystyle e^c\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \ge 0 $. Ma allora $ \displaystyle 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!} \le e^x $.

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 27 giu 2009, 14:15

Grazie mille, allora pensare alla serie di Taylor aveva senso. Dando per buona la prima formula che hai scritto, dovrei circa avere capito, tranne da dove salta fuori la c... Riusciresti a spiegarmi solo che cosa indica?

Casomai all'orale la commissaria si accorgesse che quello che ho scritto è inesatto, le tirerò fuori questa formula, ma non credo che lei si faccia molti problemi (durante la prova un ragazzo anzichè calcolare l'inversa di una funzione aveva fatto il reciproco e non gli veniva il problema, lei ci ha messo una mezz'ora buona per rendersene conto... :shock: )
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Messaggio da uchiak » 27 giu 2009, 14:33

Qui trovi il Teorema. Se ci fossero problemi fammelo sapere. Nel file al posto di c si utilizza la lettera greca $ \xi $.

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Messaggio da drago90 » 28 giu 2009, 18:37

per dimostrare il primo punto si poteva fare un'induzione?

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 01 lug 2009, 15:12

Grazie mille, era esattamente quello che mi serviva! :)
Ho letto la dimostrazione, e sono riuscito a seguire i passaggi che dimostrano l'equazione; ragionandoci un po' su ho direi di avere capito anche cosa sia il polinomio di Taylor.

Una conferma: nel tuo primo post hai scritto la formula con c (dove intendo il c del file pdf) uguale a 0, giusto?

Infatti, da quello che ho capito l'approssimazione di $ e^x $ col polinomio di Taylor diventa $ e^c+e^c\cdot(x-c)+ e^c\cdot\dfrac{(x-c)^2}{2!} + e^c\cdot\dfrac{(x-c)^3}{3!} + \dots + e^c\cdot\dfrac{(x-c)^n}{n!} $, con resto di Lagrange $ e^{\xi}\dfrac{(x-c)^{n+1}}{(n+1)!} $ . Per $ c=0 $ abbiamo l'equazione che hai scritto tu, dunque il resto di Lagrange risulterebbe di $ e^{\xi}\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!} $ , con $ \xi $ compreso tra x e 0, cioè $ \xi \in (0,x) $ oppure $ \xi \in (x,0) $a seconda del segno di x come hai scritto tu.

Dunque questa $ c $ in pratica è il valore in cui il polinomio di taylor approssima al meglio la funzione trascendenatale, giusto? In effetti le equazioni con c uguale o diverso da zero si corrispondono con delle traslazioni...

All right :?:

@Drago: l'induzione potrebbe essere anche giusta, ma come hai dimostrato il passaggio induttivo?
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Messaggio da fede90 » 01 lug 2009, 16:36

Porre c=0 è un fatto di comodità (la formula che ne risulta è detta di maclaurin, vedi qui). Il problema è che devi vedere che la funzione sia definita in 0. Ad esempio se usi la funzione lnx non puoi usare c=0, ma devi o usare un c diverso o usare la funzione lnx+1 (ad esempio).
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 01 lug 2009, 17:45

Grazie per il link, su Wikipedia è scritto in modo chiaro! :wink:
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