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Esiste una matrice $ 3\times3 $ a coefficienti reali che non ha nessun autovettore reale?
Io ho ragionato così: il polinomio caratteristico è di terzo grado, quindi un autovalore è per forza reale. Supponiamo che gli altri due autovalori siano complessi. I corrispondenti autovettori chiaramente non possono essere reali. Ora, non è possibile che anche all'autovalore reale corrisponda un autovettore complesso?
Purtroppo non sono riuscito a trovare informazioni utili da altre fonti, perciò sono giunto a rompere le scatole sul forum con 'sta roba...
EDIT2: ho risolto!! Ho capito perchè l'autovettore con autovalore reale non può essere complesso!


EDIT: per qualcuno che abbia proprio una voglia interminabile.....
Più in generale, esiste una funzione continua bigettiva $ f(\cdot):\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 $ tale che se esistono $ \vec v\in\mathbb{R}^3 $ e $ \lambda\in\mathbb{R} $ per cui $ f(\vec v)=\lambda\vec v $ allora $ \vec v=(0,0,0) $?

FeddyStra ha scritto:Ora, non è possibile che anche all'autovalore reale corrisponda un autovettore complesso?

Risposta: no Da quel che io so, se hai un autovalore $ \lambda $ pr ottenere i rispettivi autovettori devi risovere il sistema $ (A - \lambda \cdot I ) $v $ = $ 0 ( dove v e il tuo autovettore da determinare, A e la matrice di partenza, e I e la matrci identita) essendo un sistema lineare dove tutte le variabili sono reali vieni fuori sicuramente un autovettore a coordinate reali!

FeddyStra ha scritto:ho risolto!! Ho capito perchè l'autovettore con autovalore reale non può essere complesso!

Attenzione: l'autovettore PUÒ essere complesso, anzi esistono sicuramente autovettori non reali. Il punto è che ne esiste anche almeno uno reale.

@ Nonno Bassoto: sì sì. Ho capito sul serio! Grazie.

Si ha che $ \lambda $ è autovalore se $ \det(M-\lambda I)=0 $ cosicchè il sistema $ (M-\lambda I)x=0 $ ha infinite soluzioni diverse dal vettore nullo. Se $ \lambda\in\mathbb{R} $ il sistema ha coefficienti reali e dunque tra gli autovettori corrispondenti ce n'è uno reale. Se invece $ \lambda\in\mathbb{C}\backslash\mathbb{R} $ allora l'autovettore è in generale complesso.

Per quanto riguarda invece il problema con la funzione $ f(\cdot) $ che non è necessariamente un'applicazione lineare, qualcuno ha idee?
Stavo cercando di costruire una funzione in modo tale che se $ \vec v\neq0 $ allora $ f(v) $ non è multiplo di $ v $, ma poi mi sono domandato se fosse realmente possibile. (Magari ce n'è una semplice, magari non si può...)

EDIT: non so se contri molto....

Definiamo $ g(v)=f(v)/|f(v)| $ e consideriamo $ v\in S $ dove $ S $ è la sfera di centro $ O $ e raggio $ 1 $.
$ g(v) $ può essere vista come una funzione da $ S $ a $ S $. Se $ f $ soddisfa le caratteristiche richieste, allora si dovrebbe avere $ g(v)\neq v\ \ \forall v\in S $.
Tuttavia, mi sembra di ricordare che ci fosse un teorema sui punti fissi delle funzioni $ S\to S $... In tal caso dovrebbe esistere $ v $ tale che $ g(v)=v $ e quindi anche $ f(v)=\lambda v $ per un certo $ \lambda $.
Qualcuno può confermarmi l'esistenza di un tale teorema sui punti fissi?

Questo teorema è falso, basta considerare f(x)=-x, che non ha punti fissi sulla sfera
Ti confondi col teorema di Brower suppongo http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fi ... nt_theorem

.... mi fermo qui per decorosità.

E' vera però un'altra cosa: una funzione continua $ f:S^2\to S^2 $ ha o un punto fisso o un punto antipodale, ovvero esiste x tale che f(x)=x o f(x)=-x.
In entrambi i casi, se tu hai la tua funzione su R^3 continua e bigettiva che sposta ogni retta e fissa l'origine, puoi ottenere una funzione sulla sfera che non ha né punti fissi né punti antipodali, ma questo è impossibile. Quindi la tua funzione su R^3 non può esistere.

Ok. Grazie mille! Questa è proprio la risposta che cercavo!
Mi ricordo che di funzioni con punti fissi in domini strani me ne parlò Francesco Veneziano, ma chiaramente ora mi sfuggono alcuni dettagliuzzi...

Ora se volete vi dico anche come mi è saltato in mente questo quesito: stavo cercando di associare in modo univoco e continuo a ogni vettore un versore perpendicolare.

EDIT: fra i teoremi di cui mi aveva parlato Francesco c'era Borsuk-Ulam, ed era proprio con questo che mi stavo confondendo.

Cioè volevi una mappa continua e iniettiva da R^3 a S^2 ??
Oltre al fatto che associare un versore perpendicolare al vettore nullo di solito è un po' arbitrario...

EvaristeG ha scritto:Cioè volevi una mappa continua e iniettiva da R^3 a S^2 ??

Non necessariamente iniettiva e neppure suriettiva. Bastava continua. L'importante è associare a ogni vettore un versore perpendicolare.

EvaristeG ha scritto:Oltre al fatto che associare un versore perpendicolare al vettore nullo di solito è un po' arbitrario...

Ovviamente questa rappresenterebbe l'unica eccezione. Ma magari costituiva una discontinuità di prima specie: ovvero dopo opportuna definizione arbitraria per il vettore nullo la funzione risultava continua.

beh, visto che non si può pettinare una sfera pelosa, non hai molte speranze...
se restringessi la tua funzione alla sola sfera avresti un'applicazione che associa ad ogni punto della sfera un vettore non nullo (perché di norma 1) tangente in quel punto (a meno di traslarlo); questo è impossibile: ogni funzione che ai punti della sfera associa vettori tangenti deve avere almeno due zeri, uno che fa da pozzo e uno che fa da sorgente ... questo è legato alla caratteristica di eulero della sfera. Su un toro infatti è più facile!

uhm.. in realtà può avere anche un solo zero (esercizio!)..

Sì, ma è uno zero che vale 2.

grazie sam... pensavo di aver trovato un controesempio a gauss-bonnet.