Differenze tra cerchio e quadrato (Probabilità geometrica)

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uchiak
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Differenze tra cerchio e quadrato (Probabilità geometrica)

Messaggio da uchiak » 20 giu 2009, 04:12

Siano A,B due punti scelti a caso (distribuzione uniforme), indipendentemente l'uno dall'altro, all'interno di una circonferenza $ \gamma $. Determinare la probabilità che la circonferenza di centro A e raggio AB sia dentro $ \gamma $. Se i due punti A e B vengono scelti a caso (distribuzione uniforme) dentro un quadrato, la probabilità che la circonferenza di centro A e raggio AB sia contenuta dentro il quadrato è sempre la stessa? Che valore assume?
Ultima modifica di uchiak il 20 giu 2009, 19:20, modificato 2 volte in totale.

Thebear
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Messaggio da Thebear » 20 giu 2009, 14:22

Comincio a fare un pezzo del primo punto.
Sia x la distanza tra i due punti A e B. Si dovrà avere x<R (con R raggio di $ \gamma $. Ragionando su A, osserviamo che la circonferenza di raggio AB è inclusa in $ \gamma $ se e solo se A appartiene al cerchio che ha raggio R-x. Quindi la probabilità sarà $ \displaystyle \frac{(R-x)^2}{R^2}=1- (\frac{x}{r})^2 $. Come si va avanti esplicitando x in R?? Forse se è un post di MNE, la soluzione non è così semplice... :roll:

Per il secondo il mio ragionamento è analogo quindi la probabilità sarà $ (l-2x)^2 $ però anche qui non so andare avanti.
Edoardo

uchiak
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Messaggio da uchiak » 20 giu 2009, 17:02

Nel primo punto, se ho capito quello che hai fatto, ti sei calcolato la probabilità condizionata dell'evento rispetto alla distanza AB=x. Per andare avanti dovresti trovare la distribuzione di AB, non lo so se questa strada è percorribile.
Nel secondo punto devi sempre trovare la probabilità che la circonferenza di centro A e raggio AB sia contenuta nel quadrato.

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 20 giu 2009, 17:56

Consideriamo la circonferenza $ \displaystyle \gamma $ di centro O e raggio R. Poichè questa probabilità è invariante per rotazioni di A e B rispetto a O, ci è sufficiente calcolare la probabilità sul raggio passante per A, al variare di A.
Indichiamo con $ x $ la distanza di A dalla circonferenza: la probabilità che B ricada nella circonferenza di centro A tangente a $ \displaystyle \gamma $ (possiamo ridurre a questo la richiesta del problema) è uguale al rapporto tra le aree dei due cerchi, e vale quindi $ \dfrac{x^2\pi}{R^2\pi}= \dfrac{x^2}{R^2} $ .
A questo punto (passaggio azzardato) dobbiamo integrare da 0 a R questa probabilità moltiplicandola per la probabilità che tra tutti i punti sul raggio da O alla circonferenza scegliamo proprio A:
$ \displaystyle \int_{0}^{R} \dfrac{x^2}{R^2} \cdot \dfrac1R d x = \dfrac{1}{R^3}[\dfrac{x^3}{3}]_0^R=\dfrac13 $ .

Is it right? :roll:
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
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Messaggio da SkZ » 20 giu 2009, 18:26

scusate, ma il quadrato come e' scelto? A centro a B uno dei vertici?

Cmq, dato che la domanda vuole solo un si o un no, dovrebbe bastare mostrare che che i 2 insiemi delle posizioni lecite di A e B "hanno aree diverse" o che uno include l'altro e la loro differenza non e' nulla
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uchiak
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Messaggio da uchiak » 20 giu 2009, 19:14

@Davide90
Non mi è del tutto chiaro il significato della distanza del punto A dalla circonferenza. O meglio, ritengo che se ti muovi solo sulla retta OA alteri il problema. Prova invece a considerare la distanza del punto A da...

@SkZ
Nella seconda parte si devono prendere due punti a caso (distribuzione uniforme) dentro un quadrato, e poi considerare l'evento E: la circonferenza di centro A e raggio AB è contenuta dentro il quadrato. Calcolate anche P(E). Ora modifico il testo.

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 21 giu 2009, 10:37

uchiak ha scritto: @Davide90
Non mi è del tutto chiaro il significato della distanza del punto A dalla circonferenza. O meglio, ritengo che se ti muovi solo sulla retta OA alteri il problema. Prova invece a considerare la distanza del punto A da...
Dici la distanza di A dal centro di $ \displaystyle \gamma $ ? In quel caso non cambia la sostanza (si calcola il simmetrico della distribuzione calcolata prima) e anche conti portano allo stesso risultato...
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uchiak
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Messaggio da uchiak » 21 giu 2009, 15:40

Davide90 ha scritto: Dici la distanza di A dal centro di $ \displaystyle \gamma $ ? In quel caso non cambia la sostanza (si calcola il simmetrico della distribuzione calcolata prima) e anche conti portano allo stesso risultato...
Sì, la distanza è quella, però in questo caso non si lavora più su un segmento come nel tuo procedimento.
La probabilità che la distanza di A dal centro di $ \gamma $ sia minore o uguale ad x è $ \displaystyle\frac{\pi x^2}{\pi R^2} $, $ x \in (0,R) $. Derivando si ottiene la densità della distribuzione della distanza di A dal centro di $ \gamma $: $ \displaystyle\frac{2x}{R^2} $, $ x \in (0,R) $. Se la distanza di A dal centro è x, allora la probabilità che la circonferenza di centro A e raggio AB sia contenuta in $ \gamma $ è $ \displaystyle\frac{\pi(R-x)^2}{\pi R^2} $. Integrando rispetto ad x si ottiene la probabilità richiesta dal quesito: $ \displaystyle\int_0^R\frac{(R-x)^2}{R^2}\frac{2x}{R^2}dx=\frac{1}{6} $.

Natalino
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Messaggio da Natalino » 22 giu 2009, 08:35

Non capisco perché derivando si ottiene la densità della distribuzione :oops: . Potresti spiegarlo? Grazie mille..

uchiak
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Messaggio da uchiak » 22 giu 2009, 21:29

Se indico con O il centro di $ \gamma $ ottengo: $ \displaystyle \frac{x^2}{R^2}=P(AO \le x)=\int_0^x \frac{2t}{R^2}dt $, con $ x \in (0,R) $.

Natalino
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Messaggio da Natalino » 22 giu 2009, 21:44

Grazie mille! Scusa per la domanda forse un po' scema ma sono ancora poco pratico di queste cose. Gentilissimo comunque!

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