OliForum Matematico

Benche' postato in Matematica non elementare, mi chiedo se esiste un modo elementare, puramente geometrico (che non faccia uso di seni e coseni, per intenderci), per calcolare l'area della regione ombrata. Il raggio delle circonferenze e' 1 e i lati corto e lungo del rettangolo sono pari a 1 e 2, rispettivamente.

PS. Meta-Matematica: visto il valore dell'area (che comprende anche una $ \sqrt{3} $) qualcosa mi dice che non esista una tecnica puramente geometrica.

Non se è quello che cercavi ma...
Chiama l'intersezione delle cfr a sinistra $ ~ B $ e il punto nell'altro lato del rettangolo corrispondente a $ ~ C $ chiamalo $ ~D $. Ora $ ~\triangle CDB $ è equilatero con lato il raggio del cerchio. L'area delimitata dalla corda $ ~BD $ e la cfr è $ ~1/6 $ di tutta l'area del cerchio meno l'area del triangolo che se proprio non vuoi usare trigonometria trovi con la formula di erone $ \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{3}{2}l \cdot \frac{1}{2}l \cdot \frac{1}{2} l \cdot \frac{1}{2}l} = \frac{l^2}{4}\sqrt{3} $. Quindi l'area cercata è:

$ ~\displaystyle 2\left (\frac{1}{6}\pi - \frac{1}{4}\sqrt{3}\right ) + \frac{2}{6} \pi = \frac{2}{3}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} $.

piu' in generale

the ``maximum overlapping area'' $ $A\leq R_s^2 $ during the eclipses is defined by
$ $\pi R_b^2\alpha_b+\pi R_s^2\alpha_s-\pi A=\rho_e R_b\sin{\alpha_b}=\rho_e R_s\sin{\alpha_s}=\rho_eh $
where $ $\alpha_* $ is the angle between the line that join the 2 center and the radius $ $R_* $ that connects one of the two intersections between the 2 circles.
$ $2\rho_{e}h=\sqrt{(\rho_{e}^2+R_b^2+ R_s^2)^2-2(\rho_{e}^4+R_b^4+R_s^4)} $

NB: it's not exactly the maximum overlapping area, but it's value divided for $\pi$.

Beh ma per calcolare l'area di un triangolo equilatero non servono nè seni e coseni nè serve scomodare erone! Area uguale base per altezza, e l'altezza è $ $\frac{\sqrt3}{2}l$ $ e si trova con Pitagora...

Unisci C con i due punti di intersezione tra le due circonferenze e osservi che a questo punto la regione ombrata è uguale a 1/3 di cerchio+ 2 "mezzelune". L'area delle mezzelune la trovi facendo 1/6 di cerchio meno il triangolo equilatero di lato r.