determinanti di matrici..

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jordan
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determinanti di matrici..

Messaggio da jordan » 27 mar 2009, 15:26

Fissati $ (a,b) \in \mathbb{C}^2 $ trovare una formula chiusa per il determinante di

$ \left[\begin{array}{cccccc}a & b & & & &\\ b & 2a & b & & &\\ & b & 2a & b & &\\ & &\ddots &\ddots &\ddots &\\ & & & b & 2a & b\\ & & & & b & a\end{array}\right] $

dove gli spazi vuoti stanno per zeri.

(Salvatore Tringali)



Edit,@pak-man: very good, anche un buon esercizio col Latex :)
Ultima modifica di jordan il 27 apr 2009, 00:44, modificato 1 volta in totale.
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pak-man
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Messaggio da pak-man » 25 apr 2009, 18:40

Spero proprio che sia giusto, non vorrei doverci riprovare :lol:

Chiamiamo $ ~H_n $ il determinante di una matrice $ (n+2)\times(n+2) $ che rispetti le condizioni dell'ipotesi.
Chiamiamo $ D_n $ il determinante della matrice $ (n+2)\times(n+2) $
$ \left[\begin{array}{ccccc}2a&b&&&\\b&2a&b&&\\&b&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&2a&b\\&&&b&a\end{array}\right] $
$ H_0=\left|\begin{array}{cc}a&b\\b&a\end{array}\right|=a^2-b^2 $
$ H_1=\left|\begin{array}{ccc}a&b&\\b&2a&b\\&b&a\end{array}\right|=2a^3-2ab^2 $
Supponiamo ora che $ ~n\ge2 $
Allora $ H_n=aD_{n-1}-b^2D_{n-2} $

Osserviamo che $ D_{n+2}=2aD_{n-1}-b^2D_n $, inoltre $ D_0=\left|\begin{array}{cc}2a&b\\b&a\end{array}\right|=2a^2-b^2 $ e $ D_1=\left|\begin{array}{ccc}2a&b&\\b&2a&b\\&b&a\end{array}\right|=4a^3-3ab^2 $

Se $ ~a=b $:
$ D_0=a^2 $
$ D_1=a^3 $
$ D_2=2aD_1-a^2D_0=2a^4-a^4=a^4 $
$ D_3=2aD_2-a^2D_1=2a^5-a^5=a^5 $
Si dimostra facilmente che $ D_n=a^{n+2} $.
Dunque $ H_n=aD_{n-1}-b^2D_{n-2}=a\cdot a^{n+1}-a^2\cdot a^n=0 $

Se $ a\ne b $.
Le radici del polinomio caratteristico $ p(x)=x^2-2ax+b^2 $ sono $ x=a\pm\sqrt{a^2-b^2} $
$ \left\{\begin{array}{l}D_0=2a^2-b^2=\phi+\psi\\D_1=4a^3-3ab^2=\phi(a+\sqrt{a^2-b^2})+\psi(a-\sqrt{a^2-b^2})\end{array}\right. $
$ \left\{\begin{array}{l}\phi=2a^2-b^2-\psi\\4a^3-3ab^2=(2a^2-b^2-\psi)(a+\sqrt{a^2-b^2})+\psi(a-\sqrt{a^2-b^2})\end{array}\right. $
$ \left\{\begin{array}{l}\psi=-a\sqrt{a^2-b^2}+\displaystyle\frac{2a^2-b^2}{2(a^2-b^2)}\\\phi=\displaystyle\frac{4a^4-6a^2b^2+2b^4-2a^2+b^2}{2(a^2-b^2)}+a\sqrt{a^2-b^2}\end{array}\right. $
$ D_n=\phi(a+\sqrt{a^2-b^2})^n+\psi(a-\sqrt{a^2-b^2})^n $.
Dunque
$ H_n=aD_{n-1}-b^2D_{n-2}= $
$ =a\left(\phi(a+\sqrt{a^2-b^2})^{n-1}+\psi(a-\sqrt{a^2-b^2})^{n-1}\right)-b^2\left(\phi(a+\sqrt{a^2-b^2})^{n-2}+\psi(a-\sqrt{a^2-b^2})^{n-2}\right) $
dove $ ~\phi $ e $ ~\psi $ sono stati calcolati col precedente sistema.

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