Esercizi vari di geometria assiomatica

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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afullo
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Esercizi vari di geometria assiomatica

Messaggio da afullo » 24 mar 2009, 23:41

1 – Dimostrare il seguente criterio di congruenza: se due triangoli hanno un lato e due angoli, di cui uno opposto al lato, congruenti, allora sono congruenti. Questo criterio è noto come criterio di congruenza L-A-A, ed è più forte del secondo criterio di congruenza A-L-A, che richiede che i due angoli siano entrambi adiacenti al lato.

2 – Dimostrare che ogni segmento ammette il punto medio.

3 – Dimostrare che ogni angolo ammette bisettrice, essendo data la seguente definizione: dato un angolo <ABC, si definisce bisettrice di <ABC la semiretta di vertice B interna all'angolo che lo divide in due angoli congruenti.

4 – Dimostrare per almeno due delle seguenti proposizioni, che l'assioma delle parallele di Hilbert è ad esse equivalente (per la Proposizione 4: dimostrare solo che ne deriva l'enunciato dell'assioma):

 Proposizione 1: siano m || l, r diverso da m .
 Proposizione 2: se m || l, allora gli angoli alterni interni individuati da ogni trasversale sono congruenti. Si tratta del reciproco del teorema dell'angolo alterno interno.
 Proposizione 3: se k || l, m perpendicolare a k, n perpendicolare a l, allora m ed n coincidono, oppure m || n.
 Proposizione 4: la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
 Proposizione 5: se l || m, ed m || n, allora l || n. In altre parole la relazione di parallelismo è transitiva.

5 – A partire da un qualunque triangolo ABC di difetto d, è possibile costruire un triangolo che lo contenga tracciando le parallele ad ogni lato passanti per il vertice opposto al lato stesso. Il triangolo A1, B1, C1 così costruito è costituito da 4 triangoli congruenti al precedente, come dimostrato da Legendre, e avrà dunque difetto d1. Iterando la costruzione n volte si può allora ottenere un triangolo An, Bn, Cn di difetto dn = 4^n * d > 180. Legendre sosteneva di non usare, in tale costruzione, il V postulato. Dove fa acqua il ragionamento? Si ricorda che si definisce difetto di un triangolo la quantita 180° meno la somma degli angoli interni: in geometria euclidea è sempre nullo, ma in geometria iperbolica no.

:D

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