Scala Di Autovalori

[luca88]

Sia $ A \in \mathbb{C}^{n - 1 \times n - 1} $ hermitiana (autoaggiunta) con i suoi autovalori $ \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq ... \leq \lambda_{n-1} $. Per ogni $ x \in \mathbb{C}^{n-1} $ e $ b \in \mathbb{R} $ sia:

$ \displaystyle A' = \left( \begin{array}{cc} A & x \\ x^* & b \end{array} \right) $

con i suoi autovalori $ \mu_1 \leq \mu_2 \leq ... \leq \mu_n $. Dimostrare che:

$ \mu_1 \leq \lambda_1 \leq \mu_2 \leq \lambda_2 \leq ... \leq \lambda_{n-1} \leq \mu_n $


PS è un problema che non mi viene e siccome non è esattamente "scolastico" ho pensato che andasse bene per il forum

[Tibor Gallai]

E' un facile corollario del teorema di Courant-Fischer, ed è noto come teorema di separazione di Sturm.
Questo lo rende "scolastico", qualsiasi cosa voglia dire.

[fph]

# Regola del buon senso: se viene proposto un problema olimpico che sai già risolvere e che è al di sotto del tuo livello, lascia spazio a chi non lo sa fare. Puoi partecipare alla discussione, ma per favore non fiondarti a scrivere la soluzione appena vedi il problema.

(e secondo me dire "è un facile corollario di questo cannone" è anche peggio che scrivere la soluzione...)
Per chi non sa il teorema in questione può essere un buon esercizio "non scolastico", che ne direste di lasciarglielo fare?

[Tibor Gallai]

LOL, mi era sembrato che chiedesse aiuto per risolverlo.
Se non era così, chiedo scusa.
In ogni caso, il regolamento parla di problemi OLIMPICI (e chi l'ha scritto è stato ben attento a formularlo esattamente in quel modo, ci scommetto...).

[luca88]

E' un facile corollario del teorema di Courant-Fischer, ed è noto come teorema di separazione di Sturm.
Questo lo rende "scolastico", qualsiasi cosa voglia dire.

Ok, giuro che non lo sapevo, chiedo scusa

[Tibor Gallai]

Per tirare fuori qualcosa di buono dal thread, diciamo che questo problema non è solo un esercizio fine a sé stesso, ma ha delle importanti applicazioni nel calcolo numerico degli autovalori di una matrice.
Per averne un'idea, nota che la proprietà di "separazione" degli autovalori ti permette (in linea di principio) di calcolarli ricorsivamente prima per le sottomatrici più piccole, e poi per quelle più grandi, ad esempio con metodi di bisezione. In sostanza, gli autovalori delle matrici piccole ti danno gli estremi sinistro e destro per la ricerca dei singoli autovalori delle matrici grandi. Il caso emblematico, e risolto in modo efficientissimo grazie proprio ad una concretizzazione di quest'osservazione, è il caso di matrice tridiagonale.
Ma fph ti saprà dire molto più di questo, perché è il suo pane, credo...

[fph]

Well, hai già detto tutto tu.
Aggiungo solo che qualunque matrice hermitiana/simmetrica si trasforma "facilmente" in una tridiagonale, quindi quel metodo nella pratica si può applicare a tutte le matrici simmetriche.