Modello matematico per tre astrusi assiomi geometrici

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HarryPotter
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Modello matematico per tre astrusi assiomi geometrici

Messaggio da HarryPotter » 03 mar 2009, 01:19

Ecco un problema un po' insolito, frutto delle prime due ore del corso di "Matematiche elementari da un punto di vista superiore".

Costruire un modello matematico per cui valgono i seguenti tre assiomi:
  • Esistono infiniti punti
  • Per ogni punto passano esattamente 2009 rette (insiemi di punti) diverse
  • Ogni coppia di rette si interseca in un numero infinito di punti
Per 'costruire un modello' intendo dare un significato, diverso da quello solito, alle parole 'punto' e 'retta' in modo tale che valgano questi assiomi. Io ho trovato un modello semplice e carino (lo può trovare un qualsiasi olimpionico alle prime armi): lo posterò tra qualche giorno. Vediamo se voi riuscite a scoprirlo o ne riuscite a inventare di altri.

Edit: aggiunto che le rette devono essere insiemi di punti.
Ultima modifica di HarryPotter il 03 mar 2009, 02:36, modificato 1 volta in totale.

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 03 mar 2009, 01:41

Forse ci vuole la condizione che le rette siano insiemi di punti, altrimenti lo vedo poco interessante... :?

Aggiungendo questa condizione, prendiamo i numeri naturali come punti, e definiamo la retta i-esima come l'insieme dei naturali che non sono congrui a i modulo 2010. Quindi ci sono infiniti punti, 2010 rette diverse, e tutte le condizioni sono verificate.

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HarryPotter
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Trooooopppppo bravo!

Messaggio da HarryPotter » 03 mar 2009, 02:35

Emmh... perfetto! :D

Mi sento un po' umiliato...

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 03 mar 2009, 16:26

Rilancio con una sorta di "duale" (più facile?).

Costruire un modello per gli assiomi:
  • Esistono infinite rette,
  • Ogni retta è un insieme di esattamente 2009 punti,
  • Per ogni coppia di punti passano infinite rette.

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thematrix
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magari è brutta ma amen

Messaggio da thematrix » 05 mar 2009, 01:54

La prima cosa che mi è venuta in mente è un pelo più complicata:
si trattava di associare a ogni punto le rette a cui appartiene; in particolare
al punto 1, le rette $ 1, ... , 2009 $
dal punto 2 al 2009, le rette $ 1, ... ,2010 $(escludendone una per ciascun punto sempre diversa, e mai la 2010)
poi fare la stessa costruzione escludendo due tra le rette $ 1, ... , 2011 $, e così via.

Se non mi son perso niente funziona, la differenza con l'altra soluzione è che ha infinite rette.

In compenso, è facilmente adattabile al secondo problema:
basta sostituire, nella costruzione, "il punto $ p $ appartiene alle rette $ p_1, ... , p_{2009} $" con "la retta $ p $ contiene i punti $ p_1, ... ,p_{2009} $".


(edit: in questi giorni sto odiando il TeX o.o')
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Messaggio da ma_go » 05 mar 2009, 02:34

ehm.. i sottoinsiemi di 2009 elementi di un insieme infinito no? :)
(in cui i punti sono effettivamente gli elementi dell'insieme e le rette sono i sottoinsiemi; prendendo i sottoinsiemi come punti e l'insieme come insieme delle rette otteniamo un modello per il problema originale, un po' più contorto, visto che ribalta le appartenenze ;) )

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thematrix
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casinismo alè

Messaggio da thematrix » 05 mar 2009, 02:49

ma a me piace complicarmi la vita :D
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 05 mar 2009, 19:23

Io pensavo alla versione di ma_go.
Qualcuno che tiri fuori qualche teorema non banale o qualche proposizione indipendente dagli assiomi riguardanti le intersezioni a 3 a 3 di rette? (nella teoria di HarryPotter)

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