Regalino dal corso interno SNS...
Indichiamo con $ S^1 $ la circonferenza unitaria nel piano complesso, e con $ C^\ast $ tutto il piano complesso privato dell'origine. Esiste una funzione biiettiva $ f:C^\ast \to S^1 $ tale che $ f(ab)=f(a)f(b) $ per ogni a,b nel dominio?
Isomorfismo controintuitivo
Isomorfismo controintuitivo
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Il fatto è che con la somma, R è isomorfo ad R^2.
Da questo non è difficile dedurre che (R/Z) è isomorfo a Rx(R/Z), che è praticamente la tesi di questo problema.
Per dimostrare che R è isomorfo ad R^2, vediamo che in generale, se X è uno spazio vettoriale infinito dimensionale su F, allora X è isomorfo ad X^2 (come spazio, quindi come gruppo con la somma). Giocando sporco, prendiamo una base di X su F di cardinalità k. Da questa otteniamo una base di X^2 su F di cardinalità k^2. Visto che k è infinito, k=k^2. Quindi X ed X^2 sono isomorfi. Vedendo R come spazio vettoriale su Q, (R,+) è isomorfo a (R^2,+).
Nota: tale isomorfismo ovviamente sarà, da un punto di vista umano, una schifezza inesprimibile.
Da questo non è difficile dedurre che (R/Z) è isomorfo a Rx(R/Z), che è praticamente la tesi di questo problema.
Per dimostrare che R è isomorfo ad R^2, vediamo che in generale, se X è uno spazio vettoriale infinito dimensionale su F, allora X è isomorfo ad X^2 (come spazio, quindi come gruppo con la somma). Giocando sporco, prendiamo una base di X su F di cardinalità k. Da questa otteniamo una base di X^2 su F di cardinalità k^2. Visto che k è infinito, k=k^2. Quindi X ed X^2 sono isomorfi. Vedendo R come spazio vettoriale su Q, (R,+) è isomorfo a (R^2,+).
Nota: tale isomorfismo ovviamente sarà, da un punto di vista umano, una schifezza inesprimibile.
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Tibor Gallai
- Messaggi: 1776
- Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12
Copiato un cavolo...
devo dimostrare che R è isomorfo ad R^2 e ho il presentimento che l'isomorfismo è ben poco costruttivo (altrimenti sarebbe ben noto...). Allora penso "c'è un modo più 'semplice' per descrivere la struttura di somma di R?" e qui, se uno sa che R in realtà è il prodotto di tanti Q, gli torna per forza in testa.
devo dimostrare che R è isomorfo ad R^2 e ho il presentimento che l'isomorfismo è ben poco costruttivo (altrimenti sarebbe ben noto...). Allora penso "c'è un modo più 'semplice' per descrivere la struttura di somma di R?" e qui, se uno sa che R in realtà è il prodotto di tanti Q, gli torna per forza in testa.