Isomorfismo controintuitivo

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fph
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Isomorfismo controintuitivo

Messaggio da fph » 08 feb 2009, 12:03

Regalino dal corso interno SNS...
Indichiamo con $ S^1 $ la circonferenza unitaria nel piano complesso, e con $ C^\ast $ tutto il piano complesso privato dell'origine. Esiste una funzione biiettiva $ f:C^\ast \to S^1 $ tale che $ f(ab)=f(a)f(b) $ per ogni a,b nel dominio?
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edriv
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Messaggio da edriv » 15 feb 2009, 21:21

Il fatto è che con la somma, R è isomorfo ad R^2.
Da questo non è difficile dedurre che (R/Z) è isomorfo a Rx(R/Z), che è praticamente la tesi di questo problema.

Per dimostrare che R è isomorfo ad R^2, vediamo che in generale, se X è uno spazio vettoriale infinito dimensionale su F, allora X è isomorfo ad X^2 (come spazio, quindi come gruppo con la somma). Giocando sporco, prendiamo una base di X su F di cardinalità k. Da questa otteniamo una base di X^2 su F di cardinalità k^2. Visto che k è infinito, k=k^2. Quindi X ed X^2 sono isomorfi. Vedendo R come spazio vettoriale su Q, (R,+) è isomorfo a (R^2,+).

Nota: tale isomorfismo ovviamente sarà, da un punto di vista umano, una schifezza inesprimibile.

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 15 feb 2009, 21:52

Bellissimo il passaggio agli spazi vettoriali, dove l'hai copiato? :wink:

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Messaggio da edriv » 16 feb 2009, 15:14

Copiato un cavolo...

devo dimostrare che R è isomorfo ad R^2 e ho il presentimento che l'isomorfismo è ben poco costruttivo (altrimenti sarebbe ben noto...). Allora penso "c'è un modo più 'semplice' per descrivere la struttura di somma di R?" e qui, se uno sa che R in realtà è il prodotto di tanti Q, gli torna per forza in testa.

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