Insiemi contigui in R

[alessio]

Trovare, in $ \mathbb{R} $ con la topologia euclidea, due insiemi $ A,B $ (non vuoti) che siano chiusi, disgiunti e tali che $ d(A,B)=0 $.

Per chi non lo sapesse: la distanza tra due insiemi in uno spazio metrico è definita come
$ d(A,B)=Inf\{d(a,b) | a\in A, b\in B\} $

[pic88]

Definiamo una successione di intevalli $ I_n=[a_n,b_n] $ con I0=[0,1] e tale che $ b_n-a_n=1 $, $ a_{n}-b_{n-1}=1/n $. Ora $ A=\bigcup I_{2n}, B=\bigcup I_{2n+1} $ dovrebbero funzionare. Che A sia chiuso viene dal fatto che una successione convergente dovrà entrare in una palla di raggio 1, e dunque in un intervallo chiuso. Lo stesso per B.

[alessio]

Si funziona. Però scusa non ho capito la tua affermazione

Che A sia chiuso viene dal fatto che una successione convergente dovrà entrare in una palla di raggio 1, e dunque in un intervallo chiuso.

[pic88]

A parte che il complementare di A è unione di aperti e quindi potevo finire così , ho usato la caratterizzazione dei chiusi negli spazi metrici