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Dimostrare che i soli omomorfismi (di anelli)
$ f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} $
sono quelli banali.

Una delle conseguenze del teorema fondamentale di omomorfismo per anelli è che ogni immagine omomorfa di un anello è isomorfa a un suo quoziente.

$ \displaystyle (\mathbb{Q},+, \cdot) $ è un campo e quindi i suoi unici ideali sono $ \displaystyle 0 $ e $ \displaystyle \mathbb{Q} $ stesso; perciò i suoi unici quozienti sono rispettivamente $ \displaystyle \mathbb{Q} $ e $ \displaystyle 0 $. Per quanto detto sopra $ \displaystyle \phi: \mathbb{Q} \to 0 $ oppure $ \displaystyle \phi: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $.
Tolto il caso dell'omomorfismo nullo, abbiamo che il nostro omomorfismo $ \displaystyle \phi: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $ è suriettivo e perciò $ \displaystyle \phi(1)=1 $.
Usando il fatto che è un omomorfismo si dimostra che $ \displaystyle \phi(n)=n \ \forall n \in \mathbb{Z} $. Quindi $ \displaystyle \phi $ è l'identità su $ \displaystyle \mathbb{Z} $ e dunque anche su $ \displaystyle \mathbb{Q} $ essendo il campo dei quozienti di $ \displaystyle \mathbb{Z} $