Consideriamo il gruppo $ (\mathbb{Z}_{p},+) $
Dimotrare tutti e soli gli automorfismi del gruppo (isomorfismi in se stesso) sono del tipo:
$ \phi_{a}(x)=ax $ per ogni $ x \in \mathbb{Z}_{p} $
con $ a $ fissato in $ \mathbb{Z}_{p} $, $ a\not=0 $
Problemino semplice sui gruppi ciclici
Problemino semplice sui gruppi ciclici
"Sono il sig.Wolf, risolvo problemi."
Alessio sei stato sgamato... non puoi chiedere qua la soluzione ad un esercizio che ti ho proposto io!
Ringrazio il collega per la bellissima osservazione sull'isomorfismo tra quei gruppi. La soluzione che ho trovato io è abbastanza lunga ed è più o meno così: gli automorfismi di $ \mathbb{Z}_n $ (considero però solo quelli diversi dall'identità!) sono particolari permutazioni di $ S_n $ che lasciano fisso lo zero e conservano l'operazione. Quindi $ Aut(\mathbb{Z}_n) $ è isomorfo ad un particolare sottogruppo di $ S_{n-1} $. Voglio provare che una permutazione di $ S_{n-1} $ sta in quel sottogruppo solo se non lascia fisso alcun elemento. Questo si vede perchè l'insieme dei punti fissi di un automorfismo è un sottogruppo di $ \mathbb{Z}_n $, quindi o è tutto $ \mathbb{Z}_n $ e ho l'identità che avevo scartato a priori, o è solo lo zero... ma che lo zero era fisso per un automorfismo lo sapevo già. Quindi nel sottogruppo cercato di $ S_{n-1} $ ci stanno solo permutazioni che non lasciano fissi elementi. A questo punto ho "brutalmente" contato quante sono le permutazioni che NON mi vanno bene e queste sono risultate essere $ n! - n - 1 $, ne segue che in $ Aut(\mathbb{Z}_n) $ ci stanno al più $ n - 1 $ automorfismi... e siccome questi $ n - 1 $ già ce li ho, quelli sono tutti e soli gli automorfismi di $ Aut(\mathbb{Z}_n) $.
Ringrazio il collega per la bellissima osservazione sull'isomorfismo tra quei gruppi. La soluzione che ho trovato io è abbastanza lunga ed è più o meno così: gli automorfismi di $ \mathbb{Z}_n $ (considero però solo quelli diversi dall'identità!) sono particolari permutazioni di $ S_n $ che lasciano fisso lo zero e conservano l'operazione. Quindi $ Aut(\mathbb{Z}_n) $ è isomorfo ad un particolare sottogruppo di $ S_{n-1} $. Voglio provare che una permutazione di $ S_{n-1} $ sta in quel sottogruppo solo se non lascia fisso alcun elemento. Questo si vede perchè l'insieme dei punti fissi di un automorfismo è un sottogruppo di $ \mathbb{Z}_n $, quindi o è tutto $ \mathbb{Z}_n $ e ho l'identità che avevo scartato a priori, o è solo lo zero... ma che lo zero era fisso per un automorfismo lo sapevo già. Quindi nel sottogruppo cercato di $ S_{n-1} $ ci stanno solo permutazioni che non lasciano fissi elementi. A questo punto ho "brutalmente" contato quante sono le permutazioni che NON mi vanno bene e queste sono risultate essere $ n! - n - 1 $, ne segue che in $ Aut(\mathbb{Z}_n) $ ci stanno al più $ n - 1 $ automorfismi... e siccome questi $ n - 1 $ già ce li ho, quelli sono tutti e soli gli automorfismi di $ Aut(\mathbb{Z}_n) $.
Io più banalmente direi che un generatore di $ (\mathbb{Z}_p;+) $ deve andare in un altro generatore. Essendo $ p $ primo, tutti gli elementi escluso lo 0 sono generatori, quindi l'immagine di $ 1 $ può essere qualsiasi $ a \neq 0 $, e siccome l'immagine di 1 determina quelle di tutti gli altri elementi, il gioco è fatto.