È elementare? (Own)

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Oblomov
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È elementare? (Own)

Messaggio da Oblomov »

Dimostrare nella maniera più semplice possibile che il massimo di $ \displaystyle \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{max(x, y, z)} $ si ha per $ x=y=z $. Io sono riuscito solo a togliere di mezzo una variabile.

P.S. Il fatto che sia, appunto, own, insieme al fatto che io sono io, indica che ci sono ottime probabilità che la soluzione sia di una banalità sconcertante; spero che nessuno se ne abbia a male...
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pic88
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Messaggio da pic88 »

Mm non mi è chiaro. Sia $ f(x,y,z) $ quella cosa. Intendi che per ogni t, x,y e z avviene$ f(t,t,t)\geq f(x,y,z) $?
Sicuro non serva che siano positivi?

Detto ciò, scrivo una cosa: nel caso di uguaglianza abbiamo che quella cosa vale $ \sqrt{3} $. Bene, adesso sia $ x $ il massimo. Dobbiamo mostrare che $ \sqrt{x^2+y^2+z^2}\leq \sqrt{3} x $. Se sono positivi, elevare al quadrato e finire.
g(n)
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Messaggio da g(n) »

Mi sembra semplice...anche dopo l'avvertimento :D :D

Supponiamo wlog che $ x $ sia il massimo. Allora

$ x^2+y^2+z^2\leq 3x^2 $

con uguaglianza sse $ x=y=z $, e quindi

$ \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{max\{x,y,z\}}= \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{x} \leq \frac{\sqrt{3x^2}}{x} =\sqrt 3 $
e l'uguaglianza vale appunto sse $ x=y=z $.

Penso sia il modo più semplice...
g(n)
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Messaggio da g(n) »

Solito ritardo da LaTeX (e da lentezza del computer) :)

PS in effetti serve che siano positivi...
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Oblomov
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Messaggio da Oblomov »

Già, era proprio una banalità, non ci ho pensato abbastanza.

@g(n)&pic88: nisùn problema, sono tre numeri reali positivi.

Grazie e grazie ancora.
Ob
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