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Proprio ieri spiegavo ad un ragazzo a cui do ripetizioni il Teorema di Rolle e discutevamo sul fatto che possono esistere più punti all'interno dell'intervallo che soddisfanno il teorema stesso. Però mi è sorto un dubbio: possono esistere infiniti punti siffatti? Lo stesso per Lagrange ovviamente.

Prendi la funzione nulla e l'intervallo che ti pare...

Sì, ok, e se la funzione non è costante?

Forse dirò una sciocchezza, ma allora mi sembra impossibile. Diciamo che quando penso a "infiniti punti in cui la derivata si azzera all'interno di un intervallo finito" penso a funzionacce come $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $, diciamo nell'intervallo $ \left[ 0, \frac{1}{\pi} \right] $: dalle ipotesi del teorema di Rolle non è necessario che la derivata esista anche nei punti estremi, ma deve esistere almeno la funzione stessa.
Sbaglio? Esistono controesempi?

Oblomov ha scritto:penso a funzionacce come $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $, diciamo nell'intervallo $ \left[ 0, \frac{1}{\pi} \right] $: dalle ipotesi del teorema di Rolle non è necessario che la derivata esista anche nei punti estremi, ma deve esistere almeno la funzione stessa.

Ma $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $ può essere estesa in modo continuo anche in x=0, mi sembra che non abbia niente che non vada...

In generale puoi far sì che l'insieme di punti in cui si annulla la derivata sia brutto a piacere, ad esempio che sia compatto, più che numerabile e totalmente sconnesso

fph ha scritto:Ma $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $ può essere estesa in modo continuo anche in x=0, mi sembra che non abbia niente che non vada...

Chiaro. Avrei dovuto pensarci.

mitchan88 ha scritto:In generale puoi far sì che l'insieme di punti in cui si annulla la derivata sia brutto a piacere, ad esempio che sia compatto, più che numerabile e totalmente sconnesso

Con lo spirito di masochismo che mi è proprio, ti chiedo di fare qualche esempio di funzioni del genere

EDIT: ok reso conto che mi ero un po' confuso e faceva schifo

Oblomov ha scritto:

mitchan88 ha scritto:In generale puoi far sì che l'insieme di punti in cui si annulla la derivata sia brutto a piacere, ad esempio che sia compatto, più che numerabile e totalmente sconnesso

Con lo spirito di masochismo che mi è proprio, ti chiedo di fare qualche esempio di funzioni del genere

Prendi l'insieme di Cantor K in [0,1] che gode delle belle proprietà che ho detto sopra, definisci la funzione f(x) come la distanza di x da K; f è continua si annulla solo per x in K (essendo K compatto, e dunque chiuso). Ora prendi la fuzione integrale F di f con F(0)=0, che è derivabile essendo f continua, e la prolunghi in [1,2] in modo che sia derivabile, F(2)=0 (per soddisfare le ipotesi di Rolle) e la derivata non si annulli in modo strano (ad esempio non si annulli mai) et voilà