Densità di sen(n) in [-1,1]

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shevamik
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Densità di sen(n) in [-1,1]

Messaggio da shevamik » 03 ott 2008, 20:23

Come da oggetto la funzione seno calcolata sui numerali naturali è densa nell'intervallo [-1,1].
Tale risultato si può dimostrare provando per prima cosa, utilizzando il semplice principio dei cassetti, che se a,b sono due numeri reali il cui rapporto è irrazionale si ha che am+bn al variare di m ed n in Z è denso nella retta reale.
Qualcuno sa dove trovare una dimostrazione abbastanza formale sia del fatto che am+bn è denso nella retta reale che il seno è denso in [-1,1]? O saprebbe dirmi come impostarne una?

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elianto84
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Messaggio da elianto84 » 25 ott 2008, 15:28

Personalmente proverei a studiare come si comportano
i convergenti di $ \pi $ per desumere la densità in un intorno dello zero:
$ \sin(\pi-p/q)<c_1/q^2 \stackrel{?}{\longrightarrow} \sin(p)<c_2/q $
e proverei a risalire, tramite le formule di somma del seno,
dalla densità "locale" a quella "globale". Il metodo dovrebbe
funzionare, con dovuti aggiustamenti (passaggio alle sottosuccessioni
di convergenti soddisfacenti certe condizioni di parità/disparità)
anche per provare che
$ \sin(n^2) $
è denso in $ [-1,1] $.

Fammi sapere se ho torto.

PS: Mi viene in mente ora che nel caso base puoi sfruttare il fatto che
il seno è parte immaginaria dell'esponenziale complesso; $ e^{in} $
è sicuramente denso sul bordo del disco unitario in quanto è densa la
successione delle parti frazionarie $ (\pi n\pmod 1)_{n\in\mathbb{N}} $,
e la tesi segue per proiezione canonica (che preserva la densità).
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 25 ott 2008, 19:16

Beh, $ am+bn $ è un sottogruppo dei reali (contiene lo 0, è chiuso per somma, contiene l'inverso).
Ora, un sottogruppo di R, se non è denso, è per forza costituito dai multipli interi di un elemento. Infatti, se non è denso, non ha punti di accumulazione (perchè è un sottogruppo, quindi il suo comportamento attorno a un suo punto è uguale a quello attorno ad ogni altro) e dunque esiste un minimo elemento non nullo; è facile vedere che quell'elemento genera il gruppo.
Il tuo non è generato da un elemento, altrimenti il rapporto tra a e b sarebbe razionale, quindi è denso.

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