Dimostrazione del limite di e

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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Davide90
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Dimostrazione del limite di e

Messaggio da Davide90 » 25 set 2008, 16:29

Ho provato a cercarlo nel forum ma non l'ho trovato...
Qualcuno potrebbe postare o linkare una dimostrazione di

$ $ \lim_{x \to \pm \infty} {\left(1+ \frac {1}{x} \right)^x } = e $ :?:

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Haile
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Re: Dimostrazione del limite di e

Messaggio da Haile » 25 set 2008, 16:43

Davide90 ha scritto:Ho provato a cercarlo nel forum ma non l'ho trovato...
Qualcuno potrebbe postare o linkare una dimostrazione di

$ $ \lim_{x \to \pm \infty} {\left(1+ \frac {1}{x} \right)^x } = e $ :?:
Cosa c'è da dimostrare? È la definizione di $ $e$ $... O__o

Credo al massimo si possa dimostrare che questa definizione è equivalente ad altre, tipo

$ $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ $
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

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elianto84
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Messaggio da elianto84 » 25 set 2008, 17:54

Preliminarmente, una nota: ammettere dei numeri reali come esponenti è come supporre la pre-esistenza di un "candidato logaritmo" o una "candidata base".
Una definizione che non si morda la coda è
$ \displaystyle e=\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $

Che il limite esista, si prova con la disuguaglianza di Bernoulli, ovvero dimostrando (induttivamente) che
step1) $ f(n)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $ è monotona crescente
step2) $ g(n)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} $ è monotona decrescente
alchè il teorema dei due carabinieri sistema tutto, ed hai anche che per una qualunque coppia di numero reali $ a,b $ vale
$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{bn} = e^{ab} $

Ora
$ \frac{1}{c}\left((1+\frac{a+c}{n})^n - (1+\frac{a}{n})^n\right)= \frac{1}{c}(1+\frac{a}{n})^n\left(-1+(1+\frac{c}{n+a})^n)\right) $
(con poco lavoro aggiuntivo) ti assicura che la funzione $ e^x $ è ben definita, ovunque derivabile e identicamente uguale alla sua derivata.
Per la buona convergenza dello sviluppo di Taylor (alternativamente: non ci sono molte serie di potenze del tipo $ 1+O(x) $ che coincidano con la propria derivata) hai anche
$ e=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!} $
$ e=\left(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\right)^{-1} $
(e la seconda, essendo a segni alterni, converge più in fretta)

L'esponenziale definito attraverso la sua serie di Taylor ha raggio di convergenza infinito; segue che la funzione esponenziale, oltre che analitica reale, è olomorfa, e verifica (De Moivre)
$ e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) $
dato che sia il membro destro che il sinistro sono soluzioni dell'equazione differenziale
$ \frac{df}{d\theta}=if $
con le medesime condizioni iniziali.
Jack alias elianto84 alias jack202

http://www.matemate.it IL SITO

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 26 set 2008, 16:13

Grazie mille, gentilissimo! :P
elianto84 ha scritto: Una definizione che non si morda la coda è
$ \displaystyle e=\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $

Che il limite esista, si prova con la disuguaglianza di Bernoulli, ovvero dimostrando (induttivamente) che
step1) $ f(n)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $ è monotona crescente
step2) $ g(n)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} $ è monotona decrescente
alchè il teorema dei due carabinieri sistema tutto, ed hai anche che per una qualunque coppia di numero reali a,b vale
$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{bn} = e^{ab} $
Questo era quello che volevo sapere...
Una giustificazione di $ $ e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta) $ l'avevo vista anche attraverso gli sviluppi in serie di Taylor per $ e^x, \sin x, \cos x $

Stradh
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Re: Dimostrazione del limite di e

Messaggio da Stradh » 29 set 2008, 13:04

Haile ha scritto:
Davide90 ha scritto:Ho provato a cercarlo nel forum ma non l'ho trovato...
Qualcuno potrebbe postare o linkare una dimostrazione di

$ $ \lim_{x \to \pm \infty} {\left(1+ \frac {1}{x} \right)^x } = e $ :?:
Cosa c'è da dimostrare? È la definizione di $ $e$ $... O__o
...tipo che il limite esiste ed è finito non è immediato, pur essendo una definizione...

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