Limite facile

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Rispondi
Pigkappa
Messaggi: 1208
Iscritto il: 24 feb 2005, 13:31
Località: Carrara, Pisa

Limite facile

Messaggio da Pigkappa » 23 set 2008, 21:57

Calcolare:

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}{n \cdot [\sin(\frac{1}{\sqrt{n}})]^2} $


Nota: brutalizzandolo (ad esempio sostituzione e Taylor) penso che venga facilmente. Tuttavia nel testo da cui l'ho preso si trova subito dopo la spiegazione dei limiti di successioni, quando le uniche cose che si possono usare sono praticamente il teorema dei carabinieri e la definizione di limite, a parte gli strumenti elementari (disuguaglianza di CS, AM-GM e simili). Usando solo questi strumenti, non riesco a farlo...

pic88
Messaggi: 741
Iscritto il: 16 apr 2006, 11:34
Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...

Messaggio da pic88 » 24 set 2008, 13:02

Posso chiederti come viene definito il seno di x? Alcune definizioni lo danno come l'unica funzione che soddisfa certe proprietà (più di una decina talvolta!) e tra queste c'è il limite fondamentale sinx / x per $ x \to 0 $..

Avatar utente
Davide90
Messaggi: 200
Iscritto il: 12 mag 2008, 20:05
Località: Padova / Modena
Contatta:

Messaggio da Davide90 » 24 set 2008, 13:50

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}{n \cdot [\sin(\frac{1}{\sqrt{n}})]^2} = \lim_{n \to \infty} {\left[ \frac {\sin(\frac{1}{\sqrt{n}})}{\frac {1}{\sqrt{n}}} \right]^2 $
Sostituisco $ $ \frac {1}{ \sqrt{n}} = t $ , e ottengo $ $ \lim_ {t \to 0} { \left( \frac {\sin t}{t} \right)^2} = 1 $
Va bene?? :roll:

Pigkappa
Messaggi: 1208
Iscritto il: 24 feb 2005, 13:31
Località: Carrara, Pisa

Messaggio da Pigkappa » 24 set 2008, 16:36

Lo definisce così: se $ \displaystyle a+b i $ è un numero complesso nel piano, si dice che

$ \displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $

È il seno dell'argomento del numero complesso. Mi pare che sia direttamente equivalente a definirlo come la coordinata y di un punto su $ \displaystyle x^2+y^2 = 1 $.
Davide90 ha scritto: Sostituisco $ $ \frac {1}{ \sqrt{n}} = t $ , e ottengo $ $ \lim_ {t \to 0} { \left( \frac {\sin t}{t} \right)^2} = 1 $
Va bene?? :roll:
Non proprio, perchè quando sei a fare i limiti di successioni, non ha senso fare limiti per t che tende a zero. Se non conoscessi i limiti nel caso di numeri reali, non lo potresti fare. Comunque dalla forma in cui lo hai scritto si vede effettivamente facilmente la soluzione, usando i carabinieri per $ \displaystyle \frac{sin\{roba}}{roba} $ tra 1 e $ \cos{roba} $... Quindi alla fine è risolto, grazie :) .

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4580
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 24 set 2008, 22:24

A parte che quella definizione del seno mi lascia quanto meno basito ... perché si morde la coda (cos'è l'argomento di un numero complesso, visto che me l'hai scritto in coordinate cartesiane?), passare ad un limite sui reali ha perfettamente senso:
se il limite si può scrivere come una funzione continua applicata agli interi e se questa funzione continua ha limite all'infinito, allora il limite della successione è il limite della funzione all'infinito. Non si può fare il contrario, a meno che non si assuma ancora tra le ipotesi che esiste il limite della funzione...ma questo non ci interessa.
Cmq di solito si dimostra quel limite dicendo che, per valori prossimi allo zero, si ha
$ \sin x<x<\tan x $, che ha una simpatica (e fallace per questioni di buona definizione delle funzioni) dimostrazione grafica.

Pigkappa
Messaggi: 1208
Iscritto il: 24 feb 2005, 13:31
Località: Carrara, Pisa

Messaggio da Pigkappa » 26 set 2008, 17:02

EvaristeG ha scritto:A parte che quella definizione del seno mi lascia quanto meno basito ... perché si morde la coda (cos'è l'argomento di un numero complesso, visto che me l'hai scritto in coordinate cartesiane?), passare ad un limite sui reali ha perfettamente senso:
se il limite si può scrivere come una funzione continua applicata agli interi e se questa funzione continua ha limite all'infinito, allora il limite della successione è il limite della funzione all'infinito. Non si può fare il contrario, a meno che non si assuma ancora tra le ipotesi che esiste il limite della funzione...ma questo non ci interessa.
Cmq di solito si dimostra quel limite dicendo che, per valori prossimi allo zero, si ha
$ \sin x<x<\tan x $, che ha una simpatica (e fallace per questioni di buona definizione delle funzioni) dimostrazione grafica.
Quella definizione di seno si morde davvero un po' la coda, ma non so se è facilissimo definirlo senza mordersela... A questo punto, probabilmente, conviene definirlo come la coordinata y di un punto sulla circonferenza unitaria ad un certo angolo (e poi bisogna però definire l'angolo, e quindi l'arco, come limite di una parte del perimetro del poligono inscritto/circoscritto). Probabilmente ci sono modi migliori (e più complicati) per definire il seno, ma non li conosco e l'autore non poteva metterli nel capitolo introduttivo di un testo comune di analisi uno...

Certo che passare ad un limite sui reali ha senso; solo che nel testo da cui ho preso il limite, la trattazione dei limiti con i reali viene dopo, e quindi il problema si può risolvere anche senza passare per quella via, e volevo vedere se veniva fuori la dimostrazione pensata da chi aveva messo lì quel problema.

AleX_ZeTa
Messaggi: 625
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Milano
Contatta:

Messaggio da AleX_ZeTa » 26 set 2008, 19:08

Puoi definire il seno come la soluzione del problema di Cauchy
$ y''(x) + y(x) = 0 $
$ y(0) = 0 $
$ y'(0) = 1 $

oppure come serie di potenze... che puoi facilmente ricavare dallo sviluppo/definizione di $ e^{ix} $ e da $ \sin x = {1\over 2i}(e^{ix} - e^{-ix}) $
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."

Rispondi