Polinomi

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Rispondi
publiosulpicio
Messaggi: 774
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Polinomi

Messaggio da publiosulpicio »

Sia $ p(x) $ un polinomio di grado $ n\geq 2 $ a coefficienti complessi, con radici distinte. Indichiamo con $ \zeta_1,\ldots,\zeta_n $ le sue radici.
Dimostrare che $ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{p\prime(\zeta_i)}=0 $.

Vale lo stesso esercizio per polinomi a coefficienti in un campo qualsiasi (prendendo le radici nella chiusura algebrica)?
Avatar utente
mitchan88
Messaggi: 469
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da mitchan88 »

[url:197k8v9e]http://antrodimitch.wordpress.com[/url:197k8v9e]

Membro del fan club di Ippo_
publiosulpicio
Messaggi: 774
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da publiosulpicio »

Non avevo notato che era già stato risolto... nel caso complesso viene in un attimo con il teorema dei residui: la somma è l'integrale, su una qualsiasi circonferenza abbastanza grande, di $ \frac{1}{p(x)} $, inoltre, essendo il polinomio di grado almeno due, questo integrale tende a $ 0 $ quando il raggio della circonferenza tende a infinito, e quindi dev'essere $ 0 $ sempre.
Rispondi