Polinomi

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publiosulpicio
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Polinomi

Messaggio da publiosulpicio » 20 lug 2008, 12:00

Sia $ p(x) $ un polinomio di grado $ n\geq 2 $ a coefficienti complessi, con radici distinte. Indichiamo con $ \zeta_1,\ldots,\zeta_n $ le sue radici.
Dimostrare che $ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{p\prime(\zeta_i)}=0 $.

Vale lo stesso esercizio per polinomi a coefficienti in un campo qualsiasi (prendendo le radici nella chiusura algebrica)?

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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 » 21 lug 2008, 12:58

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publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 26 lug 2008, 13:22

Non avevo notato che era già stato risolto... nel caso complesso viene in un attimo con il teorema dei residui: la somma è l'integrale, su una qualsiasi circonferenza abbastanza grande, di $ \frac{1}{p(x)} $, inoltre, essendo il polinomio di grado almeno due, questo integrale tende a $ 0 $ quando il raggio della circonferenza tende a infinito, e quindi dev'essere $ 0 $ sempre.

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