Dubbi su x^n? mi servirebbe un aiutino

[andreaprofessore]

Salve. Ad un giorno dall'esame di analisi mi è venuto un dubbio sulle serie in cui compare x^n. x^n converge per |x| < 1, a 1 / 1-x e nelle serie molto spesso durante gli esercizi viene sostituita con una costante.
Ora il mio dubbio è
data la serie x^n / n^x, questa serie se applico il criterio del rapporto converge per | x | <1> 1.
Stessa cosa non avrei ottenuto se avrei sostituito x^n con c: infatti avrei avuto c/n^x che per il confronto con la serie armonica generalizzata converge per x > 1.
La conclusione che traggo è che questa sostituzione può funzionare solo in determinati casi.
Detto ciò nella serie x^n + 1 / ( n^x( 2 + x^2n) ) i miei risultati sono:
|x| > 1 converge ( la serie mi viene equivalente a 1/( |x|^n * n^x) che converge per il criterio del rapporto)
|x| = 1 non converge
|x| < 1? sinceramente non so bene come devo fare: se metto una C al posto di x^2n e x^n otterei una serie equivalente a 1 / n^x che non converge.
se però la maggioro con x^n + 1 / n ^x dovrebbe essere convergente per quanto detto all'inizio del post
Potreste dargli un'occhiata? Grazie

[andreaprofessore]

scusate penso di essere stato poco chiaro.
x^n / n^x converge usando il rapporto per |x|< 1
con un altro ragionamento io potrei sostituire alla serie per |x| < 1 una costante perchè x^n converge per |x| < 1.
il problema è che con tale sostituzione ( che è una maggiorazione giusto?) la serie non mi converge per |x| <1.
cmq il mio problema più rilevante resta la serie postata sopra perchè non riesco a capire come procedere per |x| <1> 1 sia giusta.

[SkZ]

1) $ $x>0$ $ perche' esponente

2)criterio del rapporto $ $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ $
ergo
$ $\frac{x^{n+1}}{(n+1)^x}\frac{n^x}{x^{n}}=x\left(\frac{n}{n+1}\right)^x$ $
ora passiamo al limite per $ $n\rightarrow \infty$ $ e facciamo qualche approssimazione
$ $\approx x(1-\frac{x}{n})$ $ che e' minore di 1 solo se $ $x<1$ $

Ma e' pure ovvio che per $ $x>1$ $ dato che avresti un esponenziale a base maggiore di uno fratto una potenza: l'esponenziale e' nettamente piu' potente quindi il termine non puo' essere infinitesimo.

$ $x^n$ $ e' un esponenziale, ergo non lo puoi sostituire con una costante, ma puoi maggiorare il termine con un altra successione. Ovviamente se maggiori una serie con una divergente ottieni poco: tutte le serie convergenti sono definitivamente maggiorate da quelle divergenti.