x^2+7=2^n

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Alex90
Messaggi: 260
Iscritto il: 25 mag 2007, 13:49
Località: Perugia

Messaggio da Alex90 » 06 giu 2008, 22:01

ci avevo pensato (infatti ho riprovato con $ x^2-9=2^n-16 $) però appunto così non posso arrivare mai alla certezza che non ci sono altre soluzioni

piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da piever » 08 giu 2008, 14:46

Uhm, il problema è che di soluzioni non banali ce n'è abbastanza (lo sapevate che 2^15-7=181^2? per fortuna non ce n'è di più grandi...)

Tentativo di dimostrazione:

Pongo x=2a-1, m=n-2 e definisco $ \alpha $ e $ \beta $ come le radici del polinomio $ x^2-x+2=0 $, e la tesi diventa:

$ (a-\alpha )(a-1+\alpha )=2^m $

Quindi, ragionando in $ \mathbb{Z}[\alpha] $ (lo avreste mai detto che è a fattorizzazione unica? oggi è il mio giorno fortunato) abbiamo:

$ (a-\alpha)(a-1+\alpha)=(\alpha )^m(1-\alpha )^m $

Visto che $ \alpha|a-\alpha $ e $ \alpha\nmid a-1+\alpha $ (e similmente per $ 1-\alpha $) abbiamo che $ a-\alpha =(\alpha )^m $ da cui:

$ \displaystyle\frac{(\alpha )^m-(\beta )^m}{\alpha -\beta}=\pm 1 $

Ed ora ci sono due strade possibili: la prima è dire: è un fatto noto che questa cosa non ha soluzioni per m>30

la seconda possibilità è mettersi a smanettare un po' con quella roba e forse si conclude... Per adesso non ci sono riuscito...
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

Rispondi