Una bella serie di potenze

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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Simo_the_wolf
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Una bella serie di potenze

Messaggio da Simo_the_wolf » 26 mag 2008, 14:38

Un po' di analisi non fa mai male...

Sia $ S(x) = \sum _{ n > 0 } \frac {x^n}{n^2} $

Trovare un'espressione carina per $ S(x) + S(1-x) $ (provate a trovare una funzione con la stessa derivata...)

Trovare quanto vale $ \sum _{ n>0 } \frac 1{n^22^n} $

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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 » 27 mag 2008, 23:08

Fregno!! (soprattutto dopo ore passare a fare conti con gli esercizi del Giusti) :D
Essendo il raggio di convergenza di $ \displaystyle S(x)=\sum\frac{x^n}{n^2} $ 1 possiamo derivare la funzione in questo intervallo ottenendo $ \displaystyle S'(x)=\sum\frac{x^{n-1}}{n}=-\frac{ln(1-x)}{x} $ (che è continua anche in 0). D'altra parte si ha anche $ \displaystyle S'(1-x)=\frac{ln(x)}{1-x} $. Poi provando ad integrare per parti si ottiene
$ \displaystyle S(x)=\int_0^x S'(t)dt=-\int\frac{ln(1-t)}{t}dt= $$ \displaystyle -ln(t)ln(1-t)\int_0^x-\int_0^x\frac{ln(t)}{1-t} $$ \displaystyle=\frac{\pi^2}{6}-ln(x)ln(1-x)-S(1-x) $
($ \displaystyle S(0)=0, S(1)=\sum\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} $, e $ ln(x)ln(x-1) $ tende a 0 per x che tende a 0);
Da cui $ \displaystyle S(x)+S(1-x)=\frac{\pi^2}{6}-ln(x)ln(1-x) $ , e $ \displaystyle \sum\frac{1}{n^2*2^n}=S(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}-\frac{ln(2)^2}{2} $
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