Problema di geometria proiettiva

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boulayo
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Problema di geometria proiettiva

Messaggio da boulayo » 06 mag 2008, 09:41

salve a tutti, l'esame di metodi numerici per la grafica si avvicina e la tensione aumenta!
ho davanti questo problema di geometria proiettiva davanti al quale mi sono bloccato al secondo punto; me lo potreste risolvere spiegando passo per passo quello che avete fatto se non vi dispiace? grazie 1000 in anticipo!

Nello spazio proiettivo RP^3 siano fissate coordinate omogenee [x1 : x2 : x3 : x4]
1) determinare il piano proiettivo α che contiene il punto [1 : 0 : 1 : 1] e la retta proiettiva data da x1 = x2, 2x1 - x2 = x3.


e questo piano α se non sbaglio è x1 - x3 = 0;
poi chiede

2) Determinare tutte le proiettività di RP^3 che fissano puntualmente il piano α

e qui mi sono bloccato...
Come si fa??
grazie

fph
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Messaggio da fph » 06 mag 2008, 13:14

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killing_buddha
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Messaggio da killing_buddha » 06 mag 2008, 19:56

Trova una sorpastante della proiettività che fissa il piano, o in altre parole trova una $ ~\phi : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 $ che induca un'omotetia sul piano che hai trovato...

Si tratta di imporre (detto $ ~\mathcal{R}=\{v_1,v_2,v_3,v_u\} $ un riferimento sul piano, con $ ~v_u $ intendo il punto unità)
$ ~\phi(v_j)=a_j v_j \qquad per\qquad ~j=1,2,3 $
$ \phi(v_u) = \phi(v_1+v_2+v_3)=\lambda (v_1+v_2+v_3)~ $

Ora si risolve il sistema in$ \lambda $ e si trovano tutte le matrici che, a meno di proporzionalità, sono della soparastante alla tua proiettività.

in effetti ora ho notato che stai cercando semplicemente la matrice dell'omologia di asse il piano... dovrebbe bastare dire che tutte le proiettività che fissano il piano sono quelle di sopsrastante \phi tale che esista una base in cui la sua matrice si scriva
$ \left(\begin{array}{cccc} \alpha & 0 & 0&0\\ 1&\alpha&0&0\\ 0&0&\alpha&0\\ 0&0&0&\alpha \end{array}\right) $ (eventualmente l'uno può essere tolto, ma in questo modo ottieni l'identità su tutto $ ~\mathbb{P}^3 $...)
oppure
$ \left(\begin{array}{cccc} \beta&0&0&0\\ 0&\alpha&0&0\\ 0&0&\alpha&0\\ 0&0&0&\alpha \end{array}\right) $

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