OliForum Matematico

Mi chiedevo che cosa si sapesse riguardo ai numeri $ \pi+e $, $ \pi-e $, $ \pi e $, $ \displaystyle\frac{\pi}{e} $.
Sono razionali, irrazionali, trascendenti, ...?
Grazie.

Riguardo la trascendenza l'umanità brancola ancora nel buio. Sono sicuro che di nessuno di questi è nota la trascendenza e si sanno solo cose ovvie del tipo almeno uno tra $ \ \{\pi+e, \pi-e\} $ è trascendente, e lo stesso per $ \ \{\pi e, \frac{\pi}{e}\} $ e $ \ \{\pi+e, \pi e\} $.
Nel 1988 dei pazzoidi con un Cray-2 alla NASA hanno dimostrato che $ \ e+\pi $, $ \ \frac{e}{\pi} $ ed un altro po' di costanti simili non soddisfano alcuna equazione polinomiale di grado minore o uguale a 8 con coefficienti algebrici in norma minori o uguali a $ \ 10^{10} $ o giù di lì; da allora sicuramente si sono fatti altri conti, ma lasciano il tempo che trovano.
È notevole piuttosto che si sia dimostrata la trascendenza di $ \ e^\pi $.

In questo campo, uno dei teoremi più potenti è un risultato di Baker del '66. Come suo corollario si ha che dati $ \ a_1,\dotsc,a_n,b_1,\dotsc,b_n,c $ numeri algebrici, gli a e i b tutti diversi da zero, allora $ \ e^c a_1^{b_1}\dotsb a_n^{b_n} $ è trascendente.

Riguardo all'irrazionalità, Hardy-Wright affermano che $ \ e+\pi $ e $ \ e \pi $ sono irrazionali, ma non riportano nessun riferimento e dopo una breve ricerca credo si tratti di un errore.

FrancescoVeneziano ha scritto:si ha che dati $ \ a_1,\dotsc,a_n,b_1,\dotsc,b_n,c $ numeri algebrici, gli a e i b e c tutti diversi da zero, allora $ \ e^c a_1^{b_1}\dotsb a_n^{b_n} $ è trascendente.

Altrimenti si dimostra la trascendenza di 1...

Oops. Hai ragione, in quello che ho scritto prima anche c deve essere diverso da 0.
Lo stesso teorema fornisce la variante corretta quando c è 0:
Dati $ \ a_1,\dotsc,a_n,b_1,\dotsc,b_n $ numeri algebrici, gli a diversi da 0 e 1, e i b tali che $ \ 1,b_1,\dotsc,b_n $ siano linearmente indipendenti su $ \ \mathbb{Q} $, allora $ \ a_1^{b_1}\dotsb a_n^{b_n} $ è trascendente.

Inoltre si dimostra anche che una combinazione lineare a coefficienti algebrici di logaritmi di numeri algebrici è 0 oppure è trascendente.

Come corollari di questi teoremi, utilizzando il fatto che $ \ e^{\pi i}=-1 $ è algebrico, ci sono la trascendenza di $ \ \pi+\log a $ per ogni algebrico $ \ a\neq 0 $ e di $ \ e^{a\pi+b} $ con a,b, algebrici e $ \ b\neq 0 $