Ellisse, circonferenza, normale e tangenti

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gianmaria
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Ellisse, circonferenza, normale e tangenti

Messaggio da gianmaria » 11 mar 2008, 22:06

Date un'ellisse e una circonferenza con centro in uno dei suoi fuochi, sia A un punto variabile dell'ellisse e B l'ulteriore intersezione di questa con la sua normale in A. Trovare il luogo dei punti P tali che le tangenti per esso alla circonferenza passino per A e B.
Questo problema è tratto da un testo post-universitario e quindi lo studio della curva ottenuta esula certo da questo forum; quello che chiedo è come arrivare alla sua equazione, giacché tutti i miei tentativi sono naufragati in calcoli di lunghezza proibitiva e che sembrano preludere ad una curva di grado elevato. Mi restano due sole ipotesi: o l'autore ha sbagliato nel proporre il quesito, o la soluzione è affidata a qualche proprietà che non identifico. Voi che ne dite?

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Oblomov
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Re: Ellisse, circonferenza, normale e tangenti

Messaggio da Oblomov » 12 mar 2008, 01:00

gianmaria ha scritto:Trovare il luogo dei punti P tali che le tangenti per esso alla circonferenza passino per A e B.
Qua non è molto chiaro cosa intendi... mi è parso di capire che con "esso" tu ti riferisca a P. Spero però che le cose non stiano in questi termini: tanto per cominciare, una volta fissato A, saltano fuori senza troppe difficoltà almeno quattro punti P che soddisfano le condizioni del problema (e di conseguenza quattro luoghi), e soprattutto nessuno dei luoghi risultanti (da me ottenuti col fido Cabri) ha un aspetto meno che orribile.
Forse si è sbagliato l'autore nel porre il problema, forse tu nel riportarlo, forse io nel leggerlo: aspetto quindi conferme da qualche esperto del forum :wink:

Buonanotte,
Ob
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Marco
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Messaggio da Marco » 12 mar 2008, 17:00

Mah, anch'io ho provato a pensarci un po', ed ho dei dubbi sul testo. Ha ragione Ob, che ci sono piu' configurazioni possibili per P, a seconda che A ovvero B siano sulla tg a sinistra oppure a destra. Nei problemi di luoghi cio' non e' necessariamente un errore: significa che il luogo sara' la sovrapposizione di differenti rami.

La cosa che mi puzza e' che il testo non esclude il fatto che la crf intersechi, o peggio sia del tutto all'esterno dell'ellisse. In tal caso, P non esiste neppure, in quanto non esistono le tg ad una crf passanti al suo interno.

Comunque, vi propongo il seguente problemino grosso modo correlato, non troppo difficile:

Sia E un ellisse e F un suo fuoco. Sia A un punto di E che non sia sul semiasse maggiore di E; sia N la retta normale ad E passante per A e sia Q l'intersezione di N con il semiasse maggiore di E. Calcolare il massimo ed il minimo (o meglio, il sup e l'inf)di FQ al variare di A.

Volendo, si riesce a calcolare anche il massimo della distanza di N da F (il minimo [anzi, inf] si vede facilmente essere 0), ma fa abbastanza schifo. Questo e' il collegamento con il problema originale, il quanto tale max serve per vedere quante rette contiene il luogo in funzione del raggio della crf.
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Messaggio da gianmaria » 14 mar 2008, 21:51

Sì, "esso" era davvero P. Avevo notato anch'io che ad ogni A corrispondevano più punti P (non li ho contati, vi credo se dite che sono quattro) ma, come giustamente notato da Marco, non l'avevo ritenuto un ostacolo: potevano anche fare parte di una stessa curva. Vi ringrazio per la risposta; adesso so che, a cuor leggero, posso smettere di pensarci. Non ho ancora avuto tempo per riflettere sul problema posto da Marco ma lo farò con calma; forse funziona la mezza idea che mi è venuta.

gianmaria
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Messaggio da gianmaria » 24 mar 2008, 22:06

Ecco la risposta alla prima domanda di Marco.
Detto G l’altro fuoco, la normale è bisettrice dell’angolo $ F \hat A G $ quindi, per il teorema della bisettrice, FQ : FG = FA : (FA+AG). Essendo FG=2f e FA+FG=2a si ha $ FQ=FA \frac f a $ e poiché FA aumenta da a-f a a+f se ne deducono subito gli estremi di FQ.
Non riesco però a dare risposta alla domanda di rendere massima la distanza di f dalla normale; è evidente che il massimo esiste e si dimostra facilmente che si ottiene quando A sta sulla semi-ellisse più lontana da F; ma dove esattamente? Marco, aiuto!
Marco, dovresti inoltre chiarirmi un dubbio: l’aver chiamato N la normale è un semplice errore di battitura o sono cambiate le convenzioni sul nome delle rette?

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