Sistemi dinamici e tori invarianti

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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Enialis
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Sistemi dinamici e tori invarianti

Messaggio da Enialis » 09 mar 2008, 10:15

Premettendo che il mio livello di topologia è nullo perchè non l'ho mai studiata spero in una spiegazione "alla buona" di questo teorema che mi è stato proposto.
Se un sistema dinamico è integrabile allora la sottovarietà su cui evolvono le traiettorie di tale sistema è un n-toro
Per me è arabo. Ma ancora di più perchè mi hanno detto che la dimostrazione di questo teorema è fondata su un altro teorema:
Una varietà parallelizzabile è un n-toro
Quest'ultimo è falso perchè esistono alcune varietà parallelizzabili come la 3-sfera o la 7-sfera che per l'appunto non sono tori. Perchè allora un sistema dinamico di questo tipo è rappresentato su un n-toro??
Boh :cry:
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 09 mar 2008, 13:58

Forse l'approccio ingegneristico è un po' "strano", ma io ti consiglio di capire le definizioni, e studiare la dimostrazione di quel teorema. Se vai avanti con spiegazioni alla buona, è ovvio che alla fine non ti torni più nulla.
Per esempio, già il fatto che parli con disinvoltura di varietà senza aver mai studiato nulla di topologia, è piuttosto bizzarro, e non capisco come sia possibile.
Tra l'altro, quel "è" che dici più volte, significa in realtà "è diffeomorfo a"... accertati di aver chiaro quello di cui ti stai occupando, prima di tutto.
Quanto al "teorema falso"... prima di cercare di capire un qualsiasi teorema, ti consiglio di capire cosa si intende per teorema.

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 09 mar 2008, 14:12

Allora, l'enunciato che scrivi non è molto preciso: ad esempio "la sottovarietà su cui evolvono le traiettorie" non è molto ben definita. Potresti avere tante sottovarietà con questa proprietà, tra cui sicuramente la varietà ambiente che potrebbe essere un po' quello che vuole. Inoltre sicuramente mancano ad esempio delle ipotesi di compattezza, altrimenti la traslazione in R^n ha come orbite delle rette orizzontali, che non sono tori.

Detto ciò ti dò un esempio leggermente meno banale, suggerito proprio da quello che dici tu. Su S^3 hai un campo di vettori mai nullo (anzi ne hai 3 linearmente indipendenti). Estendi questo campo su tutto R^4 riscalandolo in modo che si possa estendere ponendolo 0 nell'origine. Allora tutte le sfere M centrate nell'origine hanno la proprietà che ogni traiettoria che parte da un punto di M resta interamente in M.
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Enialis
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Messaggio da Enialis » 09 mar 2008, 18:46

Tibor Gallai ha scritto:Per esempio, già il fatto che parli con disinvoltura di varietà senza aver mai studiato nulla di topologia, è piuttosto bizzarro, e non capisco come sia possibile.Tra l'altro, quel "è" che dici più volte, significa in realtà "è diffeomorfo a"... accertati di aver chiaro quello di cui ti stai occupando, prima di tutto.
Ecco me lo chiedo anche io questi sono insegnamenti del primo semestre di un misero secondo anno di ingegneria...e la parola topologia gli ingegneri a stento sanno cos'e'. Non so cosa e' un diffeomorfismo ne' di cosa mi sto occupando...tanto che questo corso lo chiamano "Termodinamica statistica" pensate!
Tibor Gallai ha scritto:Quanto al "teorema falso"... prima di cercare di capire un qualsiasi teorema, ti consiglio di capire cosa si intende per teorema.
Se il professore sa che non abbiamo le basi per capire certe cose non dovrebbe dirle. Tuttavia si limitano a buttare li frasi col nome di "teorema di topologia" senza ipotesi n'e' rigore, tanto non lo capiremmo. Non posso stare li a studiarlo sapendo che dopo 4 settimane ho l'esame su queste cose piu' tutto il resto del programma, non ho tempo e si ragiona purtroppo da studenti che devono sopravvivere per non andare fuori corso. Gli ingegneri la matematica la fanno cosi'.
Dopo aver rimpianto dunque per l'n-sima volta di fare ingegneria (e aggiornare i veri scienziati di come gli ingegneri mutilino la matematica :evil: ) vorrei chiedere a Nonno Bassotto se l'ipotesi di un sistema esprimibile con un'hamiltoniana (e tale H e' una costante del moto) e' sufficiente a definire l'ipotesi di compattezza. D'altronde sto sentendo da due settimane la parola "toro" e non capisco perche' formalmente non possano essere delle rette o delle S^3 nello spazio delle fasi come detto in questi esempi...

P.S. Ancora per degradarmi di piu' sottolineo che non ho fatto corsi di Meccanica Razionale e che comunque vorrei capire almeno in grandi linee cosa sto studiando al posto dei miei colleghi che studiano solo per passare l'esame. Vi ringrazio per l'aiuto che spontaneamente date anche in questi casi disperati :(
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Messaggio da Tibor Gallai » 09 mar 2008, 20:29

Enialis ha scritto:Se il professore sa che non abbiamo le basi per capire certe cose non dovrebbe dirle. Tuttavia si limitano a buttare li frasi col nome di "teorema di topologia" senza ipotesi n'e' rigore, tanto non lo capiremmo.
Io sono convinto che se un professore fa così, è perché lui stesso non sa le cose, o le ha dimenticate da mooolto tempo. Questa convinzione si è rivelata fondata ogni volta che ho avuto il masochismo di indagare per accertarmene. Credo che con un po' di sana buona volontà da parte di un professore preparato, quasi tutte queste inesattezze e ambiguità possano essere risolte. Insomma, penso che un professore adeguato debba essere in grado di fare un mini-corso propedeutico alla roba di cui si occupa il corso "vero", in cui spiega in maniera minimale le definizioni e i teoremi che userà. Magari non capirai a fondo la teoria su cui si basa ciò su cui lavori (per quello servirebbe un corso dedicato!), ma almeno avrai un'idea vaga di cosa stai facendo e perché.
E' anche vero che forse il modus operandi di un ingegnere deve essere proprio quello di non capire quello che fa (tanto qualcun altro ha dimostrato che lo può fare!), e concentrarsi su altri aspetti delle cose. Alla fine penso che molti ingegneri che insegnano all'università non abbiano mai capito le cose che insegnano, ma credano di averle capite perché a forza di usarle sono entrate nella loro routine e le vedono come naturali. Considera anche che la maggior parte dei tuoi colleghi non vede nemmeno la necessità di fare una dimostrazione, e tantomeno di capire gli strumenti formali che usa (parlo per esperienza di persone che ho conosciuto, non linciatemi). Ho sentito ingegneri del 1° e 2° anno parlare con assoluta leggerezza di supercazzole talmente evolute, che io a mala pena le avevo sentite nominare.
Comunque, se questo approccio ha un vantaggio, è quello di farti toccare con mano un bel po' di roba pesante, e farti vedere come si applica nella pratica. Il sapere che una cosa esiste può spronarti a saperne di più... Sempre meglio che non sapere nemmeno che esiste, diciamo...

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Messaggio da Nonno Bassotto » 09 mar 2008, 20:44

Enialis ha scritto: Ecco me lo chiedo anche io questi sono insegnamenti del primo semestre di un misero secondo anno di ingegneria...e la parola topologia gli ingegneri a stento sanno cos'e'. Non so cosa e' un diffeomorfismo ne' di cosa mi sto occupando...tanto che questo corso lo chiamano "Termodinamica statistica" pensate!

vorrei chiedere a Nonno Bassotto se l'ipotesi di un sistema esprimibile con un'hamiltoniana (e tale H e' una costante del moto) e' sufficiente a definire l'ipotesi di compattezza. D'altronde sto sentendo da due settimane la parola "toro" e non capisco perche' formalmente non possano essere delle rette o delle S^3 nello spazio delle fasi come detto in questi esempi...
Nonno Bassotto vorrebbe risponderti ma in questa situazione è piuttosto complicato anche solo dare un'idea. Comunque l'ipotesi fondamentale che mancava nel tuo discorso era che si trattasse di un sistema hamiltoniano (e sì, ovviamente è anche necessario che la sottovarietà sia compatta).

A questo punto ho almeno capito il risultato di cui vorresti discutere, ora il problema è come spiegarlo... Facciamo che ci penso.

Intanto iniziamo con le basi, così mi faccio un'idea di cosa sai non sai. Quando nomini una varietà sai di cosa si tratta? E sai cosa significa parallelizzabile? E cos'è un toro?

Ciao
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Messaggio da Enialis » 09 mar 2008, 23:59

Faccio prima a dire che le uniche cose che so sono quelle che mi sono state 'rivelate' (nel senso profetico) dal prof. Gli appunti a riguardo li ho scritti qui:
http://webphysics.altervista.org/v1/dow ... /notes.pdf
Questo e' quello che credo direi a un esame a riguardo...ovviamente leggendo si puo' capire con quanti dubbi e quante perplessita' .
Concetto di varieta' ce l'ho solo intuitivo (sperando in una buona intuizione) ma non saprei formalizzarlo.
Concetto di parallelizzabile nel senso scritto sugli appunti.
Toro: sempre nel senso degli appunti ma so che si potrebbe vedere in qualche modo come relazione sui lati di un quadrato (in questo caso mi domando se ci sia un collegamento con la mappa di bernoulli che e' stata introdotta poco dopo nel corso...boh)
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Messaggio da Tibor Gallai » 10 mar 2008, 00:09

Non mi funziona il link.

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Messaggio da Enialis » 10 mar 2008, 00:12

Capita...prova a copiarlo e incollarlo sulla barra del browser

EDIT: Grazie del consiglio con questi copia e incolla si pasticcia ogni tanto, il file adesso e' corretto e anche linkabile da quella sottospecie di sito abbandonato.
Ultima modifica di Enialis il 10 mar 2008, 00:54, modificato 1 volta in totale.
[img]http://img505.imageshack.us/img505/3149/551186929337sb7.png[/img]

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Messaggio da Tibor Gallai » 10 mar 2008, 00:16

Nop.

EDIT: Ok no, ora l'ha trovato! :shock:
Effettivamente ci vuole un atto di fede per credere a tutta quella roba senza averne mai sentito parlare prima... Spero che Nonno Bassotto ti possa aiutare, io purtroppo non posso fare molto (tranne dirti che hai scritto 2 volte il paragrafo che comincia con "Dopo questa breve panoramica").

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Re: Sistemi dinamici e tori invarianti

Messaggio da Neo85 » 12 mar 2008, 21:27

Enialis ha scritto: Se un sistema dinamico è integrabile allora la sottovarietà su cui evolvono le traiettorie di tale sistema è un n-toro
Boh :cry:
Il teorema sopra è un risultato fondamentale dei sistemi dinamici. La dimostrazione la trovi sul libro del suo autore (il mitico Arnold) Metodi matematici della meccanica classica.

Però ti annuncio che devi avere forti basi di geometria differenziale... Quindi non so quanto questo suggerimento possa esserti utile.

Comunque vado a memoria... Altrimenti cerca Sergio Benenti e troverai un suo libro pubblicato gratuitamente dove c'è un accenno al teorema
http://garruto.wordpress.com/

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Messaggio da Nonno Bassotto » 13 mar 2008, 00:24

Tibor Gallai ha scritto:Spero che Nonno Bassotto ti possa aiutare,
Boh, ci ho pensato un po', ma temo che non saprei come... :( Dietro quello che hai scritto stanno un bel po' di concetti (varietà, sistemi dinamici, fibrato tangente e parallelizzabilità, varietà simplettiche...) di cui non credo che riuscirei a darti un'idea soddisfacente in poche righe.
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Re: Sistemi dinamici e tori invarianti

Messaggio da Neo85 » 14 mar 2008, 00:00

Neo85 ha scritto: Altrimenti cerca Sergio Benenti e troverai un suo libro pubblicato gratuitamente dove c'è un accenno al teorema
Guarda mi è capitato il link. Lo posto può esse utile a tutti:

http://www2.dm.unito.it/~benenti/Didattica/MH.pdf

Però ti avverto che non è proprio un testo banale... Richiesta minima: varietà e tensori (con operazioni allegate :) )

Ciao Simon
http://garruto.wordpress.com/

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Messaggio da Enialis » 14 mar 2008, 18:52

Vi ringrazio di tutti i riferimenti e gli aiuti che mi avete dato...vedro' di cavarmela da solo nel tempo disponibile cercando di tappare le mie falle matematiche...
Queste situazioni imbarazzanti di studiare senza poter capire sono davvero odiose....bah ho tanta voglia di cambiare e andare a far fisica seria :cry:

Grazie ancora un saluto a tutti!
[img]http://img505.imageshack.us/img505/3149/551186929337sb7.png[/img]

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