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Una funzionale un po' bislacca

Inviato: 06 mar 2008, 15:40
da Mondo
Premetto che non ho idea della difficoltà del problema che è uscito fuori in un contesto tutt'altro che olimpico...

Sia data una funzione $ $F(\bf x) $ da $ R^n $ in $ R $. Si dimostri (o, come credo, si confuti) che esiste una $ G(\bf x) $ tale che
$ F(\bf x+\bf y)-F(\bf x)=G(\bf y) $.

(ovviamente G deve essere diversa da F, sennò è troppo facile)

EDIT: Prima avevo detto che le funzioni andavano da $ R^n $ in $ R^m $, ma se l'insieme di arrivo non è $ R $, trovo subito un controesempio che fa al caso mio.

Inviato: 06 mar 2008, 16:14
da edriv
Una tale funzione G esiste se e soltanto se:
$ ~ a-b = a'-b' \Rightarrow F(a)-F(b) = F(a')-F(b') $
però non vedo assolutamente nessun motivo per cui questo deve essere soddisfatto da ogni funzione F ... ricorda che una funzione è semplicemente un modo di associare ad ogni elemento dell'insieme A un elemento dell'insieme B!
Ad esempio potresti definire F(0) = 0, F(1)=0, F(2)=1 e questa chiaramente non può andare bene, perchè G(1) = F(0+1)-F(0) = F(1+1)-F(1) che darebbe due valori diversi.

O forse c'era qualche condizione sulla F e sulla G che hai dimenticato?

Inviato: 06 mar 2008, 16:28
da Mondo
Quello che hai detto è vero ed infatti nell'esempio specifico che hai fatto la funzione G non esiste. Io voglio sapere per quali F è possibile che si verifichi la condizione (a parte le F lineari).

Penso di essermi espresso un po' male, quindi provo a spiegare il contesto del problema.
Allora quando passi dei numeri reali ad un computer sotto forma di dati, l'elaboratore li trasforma in numeri di macchina, vale a dire in dei razionali scritti i forma esponenziale con un precisione data (cioè nella forma $ \beta^a 0.c_1c_2c_3...c_n $ con $ \beta $ base di numerazione e $ a $ un esponente opportuno). Ora nel fare questa operazione si perde inevitabilmente precisione e quindi introduciamo una quantità $ \delta $ che rappresenta l'errore assoluto. A questo punto il computer fa i conti che deve fare, ovvero applica una funzione $ f $ al numero $ x $ che gli hai dato. In particolare definiamo $ \delta_d $ la quantità $ f(x+\delta)-f(x) $. Ora, e qui concludo la mia tediosissima spiegazione, nella maggior parte dei casi casi $ \delta_d $ dipende sia dagli errori $ \delta $ che dal dato iniziale, mentre in altri, che sono quelli che mi interessano, solo dagli errori $ \delta $. Se f è lineare è ovvio che rientriamo in questo secondo caso. La domanda è "Ci sono pure altre funzioni con la medesima caratteristica?"

Inviato: 06 mar 2008, 17:57
da EvaristeG
Se F è continua (o monotona o limitata sui limitati), l'unica cosa che va bene è una funzione lineare, sennò ce ne sono moltissime ... orrende.

Inviato: 06 mar 2008, 19:33
da Mondo
Un esempio di orrenda?

Inviato: 06 mar 2008, 21:05
da pic88
Beh, ad esempio viene fuori che una funzione da R in R che soddisfa la relazione F(x+y)=F(x)+F(y) o è lineare o non è limitata in alcun intervallo, e ha grafico denso in R^2.

Inviato: 06 mar 2008, 21:12
da edriv
Si vede senza troppi problemi che le F buone sono tutte e sole quelle della forma:
$ ~ F(x) = A(x) + k $
con k costante e A una funzione tale che
$ ~ A(a+b) = A(a) + A(b) $
$ ~ A(qa) = qA(a) \quad \forall q \in \mathbb{Q} $
la seconda si deduce dalla prima, ma serve a far vedere che A è un omomorfismo dello spazio vettoriale $ ~ \mathbb{R}^n $ su $ ~ \mathbb{Q} $, nel senso che uso Q come campo dei coefficienti, il che cambia molte cose. Infatti questo è uno spazio vettoriale a dimensione infinita...

Per "trovare" tutti gli A dovrei fissare una base di quello spazio (e visto che è a dimensione infinita e parecchio bruttino, servirà sicuramente l'assioma della scelta) e definire arbitrariamente i valori sulla base.