Reticoli complementati

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Sosuke
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Reticoli complementati

Messaggio da Sosuke » 21 feb 2008, 14:54

Allora... un reticolo si dice complementato se per ogni elemento xVy=1 e x⋀y=0

Perchè allora l'insieme dei divisori di 24 non è complementato mentre l'insieme dei divisori di 70 addirittura è unicamente complementato?

pic88
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Messaggio da pic88 » 21 feb 2008, 15:36

A parte che la tua definizione non sta in piedi... un reticolo è complementato se
per ogni elemento X, esiste Y tale che succede quella roba. Y si dice complementare di X. (Esercizio: dimostrare che allora X è complementare di Y).

Poi è buona norma definire le operazioni di sup e inf. Immagino che in questo caso tu ti riferisca a mcm, ed MCD. Oppure in alternativa definisci la relazione d'ordine associata, che sarebbe in questo caso, $ {a\leq b} $ se $ {a|b} $. In ogni caso basta applicare le definizioni:

prendi il reticolo dei divisori di 24. Il numero 12 ha come possibile complementare solo 24, dato che 12 sup 24 =24, e 12 sup x = 12 se x non è 24. Peccato però che non valga 12 inf 24 =1.

Invece 70 è squarefree, e allora preso un divisore, l'altro pezzo della scomposizione è il suo complementare. Il complementare risulta esser unico. Questo è evidente. Se non lo fosse, possiamo associare ad ogni divisore di 70 un sottoinsieme di {2,5,7} (nel modo ovvio, e associando a 1 il vuoto), dove la relazione di ordine parziale diventa l'inclusione. E allora ho un reticolo distributivo (in quanto isomorfo alle parti di un insieme) e pertanto, essendo complementato, lo è unicamente.

Tutte queste cose non è che stiano così bene nel forum delle olimpiadi, per cui io (nonostante abbia risposto) eviterei di proporre esercizi simili in futuro.
Ultima modifica di pic88 il 21 feb 2008, 15:57, modificato 1 volta in totale.

Sosuke
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Messaggio da Sosuke » 21 feb 2008, 15:56

edit: hai editato.. spetta che leggo....

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Messaggio da Sosuke » 21 feb 2008, 16:08

pic88 ha scritto:A parte che la tua definizione non sta in piedi... un reticolo è complementato se
per ogni elemento X, esiste Y tale che succede quella roba. Y si dice complementare di X. (Esercizio: dimostrare che allora X è complementare di Y).
Si perfetto... mi sarò espresso male.... ma intendevo questo....
pic88 ha scritto:....
prendi il reticolo dei divisori di 24. Il numero 12 ha come possibile complementare solo 24, dato che 12 sup 24 =24, e 12 sup x = 12 se x non è 24. Peccato però che non valga 12 inf 24 =1.
non capisco cosa intendi dire con 12 sup 24 = 24(cioè devo leggere il sup tra 12 e 24?) e 12 inf 24 = 1 (l'inf tra 12 e 24?)...
pic88 ha scritto:Invece 70 è squarefree, e allora preso un divisore, l'altro pezzo della scomposizione è il suo complementare. Il complementare risulta esser unico. Questo è evidente. Se non lo fosse, possiamo associare ad ogni divisore di 70 un sottoinsieme di {2,5,7} (nel modo ovvio, e associando a 1 il vuoto), dove la relazione di ordine parziale diventa l'inclusione. E allora ho un reticolo distributivo (in quanto isomorfo alle parti di un insieme) e pertanto, essendo complementato, lo è unicamente.
boh... non è che capisca assai... ma allora l'inf tra 10 e 70 è 1???
pic88 ha scritto: Tutte queste cose non è che stiano così bene nel forum delle olimpiadi, per cui io (nonostante abbia risposto) eviterei di proporre esercizi simili in futuro.
Mi sono permesso di postare visto queste parole:
Marco ha scritto:Se invece l'esercizio non è olimpico, è di Fisica o Informatica? Allora sapete dove va. Se invece è più una curiosità carina, un rompicapo, un indovinello di logica,... , più che un esercizio vero e proprio, allora "Matematica Ricreativa" è un buon posto. Tutto il resto della matematica va in "Matematica non elementare". Quindi, se avete l'esercizio dell'ultimo compito in classe di cui non siete sicuri della soluzione, MnE è il posto che fa per voi. Nel dubbio, postate gli esercizi in MnE. Eventualmente verranno spostati nel posto giusto.
Comunque non vorrei creare polemiche su cosa è giusto postare o no... vorrei capire l'esercizio :) Intanto ti ringrazio per l'aiuto che mi hai dato fin'ora...

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Messaggio da pic88 » 21 feb 2008, 16:14

si, con a sup b intendo il sup dei due elementi.

L'inf tra 10 e 70 è 10, perché 10|70.
Il complementare di 10 è 7 infatti.

Sosuke
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Messaggio da Sosuke » 21 feb 2008, 16:23

pic88 ha scritto:si, con a sup b intendo il sup dei due elementi.

L'inf tra 10 e 70 è 10, perché 10|70.
Il complementare di 10 è 7 infatti.
Ok perfetto... allora ne ho capita un'altra... l'inf e il sup non devono per forza essere il massimo o il minimo del reticolo...

Poi...

12 inf 24 = 12 ????? In quanto 12|24... dunque il complementare di 12 non è 2?

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Messaggio da pic88 » 21 feb 2008, 16:30

No. tutto quel discorso serve a vedere che 12 non ha complementare. Per risponderti da solo bastava che calcolassi 12 sup 2... ottenendo 12.

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Messaggio da Sosuke » 21 feb 2008, 16:37

ma guarda sarò scemo io... ma io non vedo differenza tra il ragionamento che si fa con i divisori di 70 e di divisori di 24...


A quanto pare:
12 inf 24 = 12 in quanto 12|24 però
2 sup 12 = 12 quindi 2 non è il complementare di 12


Ora facciamolo con i divisori di 70
10 inf 70 = 10 in quanto 10|70 però
7 sup 10 = 10 no???

Quindi non è la stessa cosa?

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Messaggio da pic88 » 21 feb 2008, 16:41

Questo forum insegna che ci sono discussioni che è più dignitoso abbandonare, sia per chi fa domande, sia per chi cerca di rispondere. Se avessi pensato un po' di più, avresti capito da solo quanto sia assurda l'idea che 7 sup 10, cioè il minimo comune multiplo tra 7 e 10, sia 10.

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Messaggio da Sosuke » 21 feb 2008, 16:52

pic88 ha scritto:Questo forum insegna che ci sono discussioni che è più dignitoso abbandonare, sia per chi fa domande, sia per chi cerca di rispondere. Se avessi pensato un po' di più, avresti capito da solo quanto sia assurda l'idea che 7 sup 10, cioè il minimo comune multiplo tra 7 e 10, sia 10.
oddio.... siamo arrivati alla dignità per 4 numeri :lol: Ma sai cosa sia la dignità??? Io conservo un'infinità dignità pur non sapendo fare ste cose.....

Comunque ora ho capito...


Edit: .... penso.... :roll:

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Messaggio da Marco » 21 feb 2008, 22:42

Buoni bimbi, altrimenti vi mando a letto.

Sosuke: il concetto di reticolo è intimamente collegato a quello di ordine. A seconda della struttura di ordine che definisci, ottieni strutture di reticolo diverse.

Quandi si parla di numeri interi e divisibilità, fattorizzazioni e compagnia briscola, l'ordine che si sceglie è di solito quello dato dalla divisibilità ($ a | b $).

Se invece parli di insiemi e sottinsiemi, di solito si usa l'ordine dato dall'inclusione ($ a \subseteq b $).

In altri casi, tipicamente in Analisi, si usa il consueto ordine dei numeri reali ($ a \leqslant b $).

Nel caso tuo, stai evidentemente confondendo l'ordine dato da "$ | $" con quello dato da "$ \leqslant $".
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Messaggio da Sosuke » 22 feb 2008, 00:26

Marco ha scritto:Buoni bimbi, altrimenti vi mando a letto.

Sosuke: il concetto di reticolo è intimamente collegato a quello di ordine. A seconda della struttura di ordine che definisci, ottieni strutture di reticolo diverse.

Quandi si parla di numeri interi e divisibilità, fattorizzazioni e compagnia briscola, l'ordine che si sceglie è di solito quello dato dalla divisibilità ($ a | b $).

Se invece parli di insiemi e sottinsiemi, di solito si usa l'ordine dato dall'inclusione ($ a \subseteq b $).

In altri casi, tipicamente in Analisi, si usa il consueto ordine dei numeri reali ($ a \leqslant b $).

Nel caso tuo, stai evidentemente confondendo l'ordine dato da "$ | $" con quello dato da "$ \leqslant $".
Grazie Marco...

mi pare pure di aver capito che se esiste un elemento $ p $ tale che
$ p^2|m $, dove $ p $ è un elemento dell'insieme dei divisori di $ m $, allora il reticolo è sicuramente non complementato....

Al contrario... se il diagramma di hasse di un reticolo è squarefree, allora il reticolo è sicuramente "unicamente complementato"....

corretto?

Per il resto ho ancora un pò di difficoltà a calcolare i complmenti ma vedrò di trovare una soluzione.....

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