Derivabilità e differenziabilità

[Laplace89]

Questi 2 termini, semanticamente parlando,in relazione ad una funzione a variabile reale o complessa,sono equivalenti???

[Nonno Bassotto]

No, non sono la stessa cosa per funzioni di più variabili reali (per funzioni di più variabili complesse sì, ma questo è un teorema profondo).

Prendi una funzione di più variabili reali.

Diciamo che f è differenziabile in x0 se esiste un'applicazione lineare $ L \colon \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} $ tale che valga

$ f(x) = f(x_0) + L(x - x_0) + o(|x - x_0|^2) $

In altre parole richiedi che sia approssimabile al primo ordine con una funzione lineare.

Invece non c'è un accordo preciso per dire che cosa vuol dire che f è derivabile. Di solito si intende che f è derivabile in x0 se in quel punto esistono le derivate parziali, cioè, fissate tutte le variabili tranne una (in questo modo ti resta una funzione di una variabile) la funzione che ottieni è derivabile in x0.

È sempre vero che differenziabile implica derivabile, ma non il viceversa.

[Laplace89]

Ok, è da un pò che penso alla relazione tra questi 2 termini, dapprima credevo fossero la stessa cosa, poi mi sono sorti dei dubbi, comunque adesso è tutto molto più chiaro, thanks Nonno .

[albert_K]

Però forse lui intendeva chiedere se nel caso di una sola variabile le condizioni sono equivalenti. E in tal caso direi che la risposta è affermativa, no? P

[Laplace89]

Però forse lui intendeva chiedere se nel caso di una sola variabile le condizioni sono equivalenti. E in tal caso direi che la risposta è affermativa, no? P

No la mia richiesta era del tutto generale, funzioni a variabile relae o complessa, perchè nel caso di funzioni ad una variabile reale questi 2 concetti sono uguali?

[albert_K]

Beh direi che, seguendo la definizione di Nonno Bassotto, se lafunzione è una sola variabile ed è derivabile in un punto, allora esiste la retta tangente in quel punto, e questa è proprio la funzione lineare (un caso specifico) di cui si parla.

[Laplace89]

Si direi di si.

[Marco]

Beh direi che, seguendo la definizione di Nonno Bassotto, se lafunzione è una sola variabile ed è derivabile in un punto, allora esiste la retta tangente in quel punto, e questa è proprio la funzione lineare (un caso specifico) di cui si parla.

Al tempo!! Questa non e' una dimostrazione: non puoi parlare di retta tangente. Tu sai solo che la funzione e' derivabile (i.e.: esiste il limite nel punto del rapporto incrementale). Non sai ancora nulla sul fatto che esiste una retta tangente.

[E poi mi ricordo che faccio anche il moderatore, e che derivate e differenziali sono MnE. Spostato. M.]

[Laplace89]

Beh direi che, seguendo la definizione di Nonno Bassotto, se lafunzione è una sola variabile ed è derivabile in un punto, allora esiste la retta tangente in quel punto, e questa è proprio la funzione lineare (un caso specifico) di cui si parla.

Al tempo!! Questa non e' una dimostrazione: non puoi parlare di retta tangente. Tu sai solo che la funzione e' derivabile (i.e.: esiste il limite nel punto del rapporto incrementale). Non sai ancora nulla sul fatto che esiste una retta tangente.

[E poi mi ricordo che faccio anche il moderatore, e che derivate e differenziali sono MnE. Spostato. M.]

Si ho sbagliato io a postarlo, comunque non riesco a capire perchè ,sapendo che la funzione è derivabile in un punto non si possa inferire che in quel punto esiste la retta tangente, la derivata dal punto di vista geometrico è il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto, quindi se la funzione è derivabile nel suddetto punto si possono presentare 2 casi, o la derivata è nulla o è una quantità finita, nel primo caso si ha una tangente orizzontale altrimenti una tangente con un determinato coefficiente angolare, diverso da 0, comunque la tangente esiste; ho detto un'assurdità?

[Carlein]

Sono ignorante in argomento quindi forse dico una cretinata ma:c'è anche il caso in cui il limite del rapporto incrementale tende ad una quantità non finita.Il limite e dunque la derivata è definito ma la funzione tangente in tal caso non dovrebbe esserlo...Ho detto una bestialità?

[pa]

ma in questo caso non si tratterebbe di una retta verticale?

[Laplace89]

Sono ignorante in argomento quindi forse dico una cretinata ma:c'è anche il caso in cui il limite del rapporto incrementale tende ad una quantità non finita.Il limite e dunque la derivata è definito ma la funzione tangente in tal caso non dovrebbe esserlo...Ho detto una bestialità?

Nel caso in cui il limite del rapporto incrementale tende ad infinito la funzione non è derivabile in quel punto, dalla definizione di derivata di una funzione ad una variabile reale, mentre noi abbiamo supposto che lo sia.

[Marco]

non riesco a capire perchè ,sapendo che la funzione è derivabile in un punto non si possa inferire che in quel punto esiste la retta tangente

Nel caso di funzioni in una variabile reale, questo è vero, ma va dimostrato. Tieni conto che dire "esiste la retta tangente nel punto" e "la funzione è differenziabile nel punto" sono frasi equivalenti (via la definizione di Nonno).

Quindi se mi dici: "derivabile implica esiste la retta tangente", non hai fatto alcun passo avanti rispetto a "derivabile implica differenziabile".

Ripeto: tu sai che esiste finito il limite del rapporto incrementale. Da lì a dire che puoi approssimare la funzione con una cosa lineare manca qualcosa:

Sia dunque un fissato numero reale positivo $ \varepsilon $. Allora esiste un intorno di $ x_0 $ tale che per ogni punto dell'intorno si ha che il rapporto incrementale bla bla bla...

Un po' più chiaro?

[Laplace89]

non riesco a capire perchè ,sapendo che la funzione è derivabile in un punto non si possa inferire che in quel punto esiste la retta tangente

Nel caso di funzioni in una variabile reale, questo è vero, ma va dimostrato. Tieni conto che dire "esiste la retta tangente nel punto" e "la funzione è differenziabile nel punto" sono frasi equivalenti (via la definizione di Nonno).

Quindi se mi dici: "derivabile implica esiste la retta tangente", non hai fatto alcun passo avanti rispetto a "derivabile implica differenziabile".

Ripeto: tu sai che esiste finito il limite del rapporto incrementale. Da lì a dire che puoi approssimare la funzione con una cosa lineare manca qualcosa:

Sia dunque un fissato numero reale positivo $ \varepsilon $. Allora esiste un intorno di $ x_0 $ tale che per ogni punto dell'intorno si ha che il rapporto incrementale bla bla bla...

Un po' più chiaro?

Si adesso è molto più chiaro, la differenza è relativamente sottile.