Gruppo ciclico e sottogruppo generato

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Te2012
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Gruppo ciclico e sottogruppo generato

Messaggio da Te2012 » 04 giu 2018, 16:28

Salve a tutti. Chiedo scusa, se abbiamo un gruppo ciclico <x> di ordine pq con p e q primi distinti, perchè tale gruppo ciclico di ordine pq risulta essere uguale al sottogruppo generato <$x^p,x^q$> ? Ho utilizzato un teorema che afferma che se G è un gruppo ciclico finito di ordine m ossia se m è il periodo di x allora G = {$x^0, x^1,.....,x^(m−1)$} e m è il minimo intero positivo tale che $x^m$ = 1. Poi ho utilizzato la definizione di sottogruppo generato e quindi (per tale definizione) il generico elemento di ⟨$x^p,x^q$⟩ è prodotto finito di elementi appartenenti a {$x^p,x^q$} oppure di inversi di elementi appartenenti a {$x^p,x^q$}. Però tuttavia non riesco a capire il mio dubbio esposto a inizio messaggio ossia perchè se abbiamo un gruppo ciclico <x> di ordine pq con p e q primi distinti, perchè tale gruppo ciclico (di ordine pq) è uguale al sottogruppo generato ⟨$x^p,x^q$⟩ ? Chiedo tanto tanto tanto gentilmente se qualcuno può aiutarmi.
Grazie mille

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