Continua ma non troppo

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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RiccardoKelso
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Continua ma non troppo

Messaggio da RiccardoKelso » 13 giu 2017, 18:15

Posto qui perché in fondo la sezione mi sembra appropriata (e sono troppo pigro per trovare un altro forum);
Si discuta l'eventuale continuità della funzione $f:(\mathbb{C} \setminus \{0\})\times [0,1] \longrightarrow \mathbb{C} \setminus \{0\}$ definita come $f(z,t)=z^{3+2t}$.
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teppic
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Re: Continua ma non troppo

Messaggio da teppic » 15 giu 2017, 09:26

Sono un po' arrugginito di analisi complessa, ma direi che è continua, e lo dimostrerei con la definizione di continuità, eventualmente passando alle coordinate polari, per semplicità.
    To call in the statistician after the experiment is done may be
 no more than asking him to perform a post-mortem examination:
 he may be able to say what the experiment died of.  (R.A. Fisher)

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RiccardoKelso
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Re: Continua ma non troppo

Messaggio da RiccardoKelso » 15 giu 2017, 11:53

Il problema è che $f_3:\mathbb{C} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{C} \setminus \{0\},\space f_3(z)=z^3$ e $f_5:\mathbb{C} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{C} \setminus \{0\},\space f_5(z)=z^5$ non possono essere omotope in $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ in quanto inducono morfismi differenti su $H_1(\mathbb{C} \setminus \{0\})$. Però mi sarebbe piaciuto vederlo in altro modo e allora ho pensato a quanti e quali numeri complessi elevati a $\sqrt{10}$ diano come risultato $1$, e l'insieme potrebbe non essere così chiuso.. Sinceramente ho postato qui sperando che qualcuno mi dicesse dove sbaglio a ragionare o che qualche cane da tartufo trovasse un punto di discontinuità :roll:
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Drago96
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Re: Continua ma non troppo

Messaggio da Drago96 » 15 giu 2017, 13:01

Spero di non dire cavolate, ma considera anche solo $z\mapsto z^{\frac1 2}$; il modo sensato di definirla è $\exp(\frac1 2 \log z)$, con $\log$ preso sul ramo principale. Però si vede bene che $e^{i(\pi-\varepsilon)}$ e $e^{-i(\pi-\varepsilon)}$ vengono mandati rispettivamente in $i\exp(-i\frac\varepsilon 2)$ e $-i\exp(i\frac\varepsilon 2)$ che sono parecchio distanti. Quindi la radice quadrata non è molto continua. (lo è però su $\mathbb C\setminus\mathbb R^-$)
La stessa cosa puoi dirla della tua funzione con, ad esempio, $t=\frac1 4$.
Però sinceramente il tuo modo di vederla sembra più elegante, se ho capito cosa stai facendo e il tuo $H_1$ è il gruppo fondamentale (che ho sempre visto con $\pi_1$)
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Re: Continua ma non troppo

Messaggio da RiccardoKelso » 15 giu 2017, 14:14

Circa, è il primo gruppo di omologia. Comunque grazie mille, nelle mie sconfinate lacune era compreso anche il concetto di funzione polidroma (con annessi rami principali etc.), ora almeno so a grandi linee di cosa si sta parlando. Gentilissimo! :D
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Re: Continua ma non troppo

Messaggio da EvaristeG » 17 giu 2017, 22:42

Wow, che pastrocchio... dunque, intanto ha ragione Drago96, ma ne ha più di quanta creda: la funzione $f_\alpha(z)=z^\alpha$ non è ben definita per $\alpha$ non intero ... il fatto di prendere un certo ramo del logaritmo un altro è completamente arbitrario; in particolare, se $\alpha=k/n$ con $(k,n)=1$ e se $\zeta_n$ è una radice n-esima di 1, allora le funzioni $f_\alpha(z)$ e $\zeta_n f_\alpha(z)$ sono entrambe candidate ad essere "la radice n-esima di $z^k$".

Facciamo un esempio non completamente ovvio: cerchiamo una funzione $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ tale che $f(z)^3=z$ (togliere lo 0 soltanto è piuttosto inutile, tanto lì siamo sicuri di quanto varrà la funzione...). Quanto vale questa funzione in $z=1$? Beh, può avere 3 valori:
$$z=1, z=-1/2 + \sqrt{3}/2 i, z= - 1/2 -\sqrt{3}/2 i$$
diciamo, per semplicità, che valga $1$. Se ora ci muoviamo lungo la circonferenza unitaria, ad esempio con la curva $\gamma(t)=\cos t + i \sin t$, prendere la radice cubica vuol dire risolvere le equazioni $\cos(3s)=\cos(t),\ \sin(3s)=\sin(t)$, che porta a $s=t/3 + 2k\pi/3$; se vogliamo che per $s=0$ si ottenga $t=0$, allora $k\equiv 0\bmod 3$. Quindi, $f(\gamma(t))=\cos(t/3 + 2k\pi/3)+i\sin(t/3 + 2k\pi/3)$ con $k\equiv 0\bmod 3$.
Ora, è evidente che basta prendere $k=0$, poiché per $k=3h$ si ottiene sempre la stessa funzione.
Se $t\to2\pi^-$, allora $t/3 \to (2\pi/3)^{-}$ e dunque,
$$\lim_{t\to 2\pi^-}f(\gamma(t))=\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)=-1/2+\sqrt{3}/2 i$$
mentre $f(\gamma(0))=1$.

Da dove nasce questo problema? beh, dal fatto che $z\to z^n$ non è una funzione iniettiva se $n\neq 1$ e dunque non ha un'inversa vera e propria. In realtà, fuori da $z=0$, la funzione $z\to z^n$ manda $n$ punti diversi in uno solo, ovvero è una funzione $n$ a $1$.

O, alternativamente, dal fatto che $\log z$ non sia ben definita.

Comunque, per arrivare al tuo problema di omotopia, attento: il fatto che quella che hai scritto non sia un'omotopia non implica che non ne esista una. In realtà, essere o non essere omotope è equivalente a indurre o non indurre lo stesso omomorfismo nei gruppi fondamentali, che, nel caso di $\mathbb{C}^*$ sono la stessa cosa che i gruppi di omologia. Quindi è difficile trovare dimostrazioni che non passino di lì.
Il punto fondamentale è che il grado è un invariante topologico e più o meno corrisponde al numero di controimmagini...o se vuoi, i rivestimenti dati dalle due mappe non sono isomorfi. O ancora, puoi vederli come fibrati in rette sul toro, ma il succo rimane sempre quello e il conto è sempre lo stesso: guardi cosa fanno ad un generatore del gruppo fondamentale, ovvero alla circonferenza unitaria, in termini di indice di avvolgimento attorno all'origine.

Il modo più semplice di formularlo è il seguente: date due mappe $f,g:X\to Y$ omotope (sia $H;X\times[0,1]\to Y$ l'omotopia) e data una curva $\gamma:[0,1]\to X$, allora le curve $f\circ \gamma$ e $g\circ\gamma$ sono omotope, tramite l'omotopia $H(\gamma(\cdot), cdot):[0,1]\times[0,1]\to Y$.
Ma le curve $t\mapsto(\cos(3t), \sin(3t))$ e $t\mapsto(\cos(5t), \sin(5t))$ non sono omotope in $\mathbb{C}^*$, in quanto hanno indici di avvolgimento $3$ e $5$ attorno all'origine.

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