OliForum Matematico

Oggi mi è stato proposto un problema. Credo di essere giunto alla soluzione ma è abbastanza orribile. Dato che non l'ho trovato su questo forum lo posto. Il testo è:
Dimostrare che in un qualunque gruppo di 17 numeri naturali se ne trovano 5 la cui somma è divisibile per 5.

mi permetterei di modificare la tesi..(soluzione di due righe)
dimostrare che in qualunque gruppo di 13 numeri naturali se ne trovano 5 la cui somma è divisibile per 5



tesi per i cavillosi..
bonus question
dimostrare che in qualunque gruppo di 9 numeri naturali se ne trovano 5 la cui somma è divisibile per 5 (e che la tesi rimane falsa per ogni gruppo di 8 )

ci ho messo mezz'ora a trovare il buond

Mi aggiungo alle generalizzazioni... chi ne ha voglia potrebbe anche dimostrare che, detto p un primo dispari, posso sempre scegliere p interi in un insieme di $ (p-1)^2+1 $ elementi in modo che la loro somma sia divisibile per p.

@darkrystal..
$ \forall n\ >2, n \in N $, se si sceglie un gruppo di $ [\frac {n^2-1}{2}] $ si possono trovare n numeri la cui somma sia divisibile per n

@ Jordan
Per dimostrare che la tesi rimane falsa per ogni gruppo di 8 dovrebbe essere sufficiente determinare un gruppo in cui non è possibile sceglierne 5 la cui somma sia un multiplo do 5. Ad esempio si prendano quattro numeri $ a,b,c,d $ multipi di 5 e quattro numeri $ e,f,g,h\equiv 1\pmod{5} $
E' impossibile sceglierne 5 la cui somma sia divisibile per 5

quel controesempio serve a dimostrare che 9 è il minimo..infatti si deve dimostrare che non esistono tali controesempi con 9 elementi

per il 13 abbiamo che deve essere

==0 <4
==1 <4
==2 <4 (mod 5)
==3 <4
==4 <4

allora scelti 13 almeno 4 classi di congruenza sono ammesse, sembra logico escludere gli zeri perchè basta un 41000 o un 23000 o un 23230 o un 41410. quindi esclusi gli zere avremo almeno un ==1 almeno un ==2 almeno un ==3 e almeno un ==4. però per evistare il 42432 ci vuole un solo 2 oppure un solo 4 ma allora si può fare 11332.


per il 9 3 classi di congruenza devono essere scielte, anche qua si esclude subito lo 0 perchè si ha o 04141 o 02323 o 04443 o 04132 o 04411 o 00424 o 00334 o 00032 o 00041.
rimangono ==1 ==2 ==3 ==4 per evitare il 11332 o si esclude l'1 ma allora per evitare anche il 42432 si mette un solo 2 e abbiamo 233334444 con cui si può fare il 24333 o solo un 4 e si può cmq fare il 24333 o solo un 3 e si ha 44223.
oppure si esclude il 3 ma per evitare il 44421 si mette un solo 4 e abbiamo 411112222 con cui si può fare 41221.
oppure si esclude il 2 ma per eviatre il 44133 si mette un solo 4 e si ha 411113333 con cui si può fare 331111 oppure mi mette un solo 3 ma allora si ha 311114444 con cui si può fare il 43111.
oppure si esclude il 4 ma per evitare il 11332 si mette un solo 1 e si ha 133332222 con cui si può fare 32221 o un solo 1 con cui si può cmq fare 32221.

Conclusione non si riescono a sciegliere 3 gruppi che non soddisfino la tesi.

d'altra parte per l'8 un controcaso è un gruppo con 4 congrui a 4 e 4 congrui a 3 (mod 5)