In a basketball tournement any two of the $ n $ teams $ S_1,S_2,\dots,S_n $ play one match (no draws). Denote by $ v_i $ and $ p_i $ the number of victories and defeats of team $ S_i $ ( $ i=1,2,\dots ,n $), respectively. Prove that
$ v_1^2+v_2^2+\dots+v_n^2=p_1^2+p_2^2+\dots+p_n^2 $.
in due righe
Ad ogni vittoria di una squadra $ j $ corrisponde una sconfitta di una squadra $ i $ quindi vale: $ \displaysytle \sum v_i =\sum p_i $
Le posso ordinare in questo modo:
$ (v_1-p_1) + (v_2-p_2)+...+(v_n-p_n)=0 $ ma a noi fa più comodo così:
$ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}[(v_1-p_1) + (v_2-p_2)+...+(v_n-p_n)]=0 $
sapendo che le partite giocate da ogni squadra sono proprio $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $ $ \rightarrow v_i+p_i= \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $
Quindi: $ (v_1+p_1)(v_1-p_1)+(v_2+p_2)(v_2-p_2)+...+(v_n+p_n)(v_n-p_n)=0 $
ed habemus tesi!
Le posso ordinare in questo modo:
$ (v_1-p_1) + (v_2-p_2)+...+(v_n-p_n)=0 $ ma a noi fa più comodo così:
$ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}[(v_1-p_1) + (v_2-p_2)+...+(v_n-p_n)]=0 $
sapendo che le partite giocate da ogni squadra sono proprio $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $ $ \rightarrow v_i+p_i= \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $
Quindi: $ (v_1+p_1)(v_1-p_1)+(v_2+p_2)(v_2-p_2)+...+(v_n+p_n)(v_n-p_n)=0 $
ed habemus tesi!
Ultima modifica di EUCLA il 16 dic 2007, 11:05, modificato 2 volte in totale.
- Sesshoumaru
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Ma $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $ non sono le partite totali giocate da tutte le squadre?EUCLA ha scritto:Ad ogni vittoria di una squadra $ j $ corrisponde una sconfitta di una squadra $ i $ quindi vale: $ \displaysytle \sum v_i =\sum p_i $
Le posso ordinare in questo modo:
$ (v_1-p_1) + (v_2+p_2)+...+(v_n+p_n)=0 $ ma a noi fa più comodo così:
$ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2}[(v_1-p_1) + (v_2+p_2)+...+(v_n+p_n)]=0 $
sapendo che le partite giocate da ogni squadra sono proprio $ \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $ $ \rightarrow v_i+p_i= \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} $
Quindi: $ (v_1+p_1)(v_1-p_1)+(v_2+p_2)(v_2-p_2)+...+(v_n+p_n)(v_n-p_n)=0 $
ed habemus tesi!
Ogni squadra ne gioca $ (n-1) $
Quindi la formula esatta da sfruttare dovrebbe essere:
$ (n-1)[(v_1-p_1) + (v_2-p_2)+...+(v_n-p_n)]=0 $
Che poi diventa quindi come dicevi tu: $ (v_1+p_1)(v_1-p_1)+(v_2+p_2)(v_2-p_2)+...+(v_n+p_n)(v_n-p_n)=0 $
O sbaglio?
(in ogni caso la sostanza non cambia )
Ultima modifica di Sesshoumaru il 14 dic 2007, 15:00, modificato 1 volta in totale.
[img]http://img65.imageshack.us/img65/2554/userbar459811cf0.gif[/img]
[i]"You have a problem with your brain: the left part has nothing right in it, and the right part has nothing left in it."[/i]
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