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Ping pong

Inviato: 30 nov 2007, 14:18
da Carlein
Ragazzi vi posto un problema che ho pensato dopo una quarantina di partite a ping pong: sappiamo che data una partita a ping pong che finisce a 11 vi sono 11 possibili risultati;ora poniamo un generico risultato 11-n con n compreso tra 0 e 10:Come possiamo calcolare il massimo numero di modi in cui la partita può finire 11-n? per chi non abbia capito offro un esempio:si può avere 11-0 in un solo modo.Io ho trovato un risultato ricorsivo facile da dimostrare che trovo numericamente molto interessante:partendo da 11-1 che si può avere in 11 modi con il triangolare di 11 otteniamo le combinazioni di 11-2;facendo il triangolare di ciascun addendo del triangolare precedente otteniamo 11-3,e ripetendo la stessa operazione su ciascun risultato otteniamo quello successivo.Ma se mi chiedo la somma di tutti i punteggi,ovvero le combinazioni globali della partita,mi trovo davanti ad un calcolo molto poco elegante;chi saprebbe sintetizzare un risultato non ricorsivo?

Inviato: 30 nov 2007, 22:10
da julio14
$ $\binom{10+n}{10} $
Ti lascio scoprire perchè :wink:

EDIT: come al solito avevo dimenticato qualcosa...

Inviato: 30 nov 2007, 23:39
da darkcrystal
Avrei detto $ {10+n \choose n} $, perchè credevo che l'ultima la vincesse quello che arriva a 11...

Inviato: 01 dic 2007, 16:51
da julio14
già XD solito errore cretino!

Inviato: 11 mar 2008, 16:20
da Carlein
è passato un pò di tempo e risolvendo un problema di combinatoria ho fatto un caso particolare del generale postato qui sotto e mi sono ricordato di questa partita di ping pong del risultato ricorsivo che trovai rispetto a quando scrissi questo problema...dunque ora ho formalizzato la mia soluzione e mettendola assieme a quella coi binomiali ho trovato questo risultatino forse inutile..vabbeh ecco qua
dati $ n, k $ naturali k>2 e n generico si ha che $ { n+k \choose k}= \sum_ {f_1=2}^{n+2}{\sum_ {f_2 =2}^{f_1}{.....\sum_ {f_{k-2}=2}^{f_{k-3}}{ {f_{k-2} \choose 2}} $
Capire perchè è così non è difficile(sempre se è corretto ma dovrebbe esserlo)...una dimostrazione rigorosa e pulita è forse giusto un pò laborioso...per chi non si annoiasse troppo a farlo...l'ho scritta apposta :D
Ciao

Inviato: 12 mar 2008, 17:31
da Marco
Carlein ha scritto:dati $ n, k $ naturali k>2 e n generico si ha che $ { n+k \choose k}= \sum_ {f_1=2}^{n+2}{\sum_ {f_2 =2}^{f_1}{.....\sum_ {f_{k-2}=2}^{f_{k-3}}{ {f_{k-2} \choose 2}} $
Direi che e' vero, e che si generalizza:

Dati $ n, k, t $ naturali k>t, si ha che

$ $ { n+k \choose k}= \sum_ {f_1=t}^{f_0}{\sum_ {f_2 =t}^{f_1}{.....\sum_ {f_{k-t}=t}^{f_{k-t-1}}{ {f_{k-t} \choose t}}. $

[con $ f_0 = n+t $]

Il particolare per t = 0, viene una simpatica formuletta che e' sostanzialmente il famoso problema dei modi di sommare n+1 con k+1 addendi naturali.