gara di matematica

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
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mod_2
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gara di matematica

Messaggio da mod_2 » 09 nov 2007, 13:21

A una gara di matematica vengono proposti a ogni concorrente 42 problemi in ordine di difficoltà, il primo vale 1 punto, il secondo 2, il terzo 3 e così via fino al 42-esimo 42 punti. Il punteggio di ogni concorrente è un numero di 5 cifre; da sinistra a destra, le prime 2 indicano il numero di problemi risolti e le ultime 3 la somma dei punti dei problemi risolti.
Es. uno che risolve tutti i problemi tranne il 42-esimo ha come punteggio: 41 861

Quanti punteggi posso formare in questo modo al massimo?
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puk
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Messaggio da puk » 09 nov 2007, 22:51

Sono 24683?? non posto la soluzione per ora, visto che a quest'ora sono un po' fuori fase e di sicuro ci saranno degli errori..

Alex89
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Messaggio da Alex89 » 10 nov 2007, 09:33

Provo la mia...
E' ovvio che se il concorrente ha risolto n problemi le ultime tre cifre del punteggio può comprendere tutti i valori tra $ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k $ e $ \displaystyle\sum_{k=42-n+1}^{42}k $. Questi valori sono:
$ (\displaystyle\sum_{k=1}^{42}k-\displaystyle\sum_{k=1}^{42-n}k)-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k+1 $
ossia $ \displaystyle\frac{42*43}{2}-\displaystyle\frac{(42-n)(43-n)}{2}-\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}+1 $ che dopo un po' di conti diventano $ 42n-n^2+1 $ per n che varia tra 0 e 42.
Quindi il totale dei possibili punteggi è $ \displaystyle\sum_{n=0}^{42}(42n-n^2+1) $, che si riscrive come
$ \displaystyle42\sum_{n=1}^{42}n-\sum_{n=1}^{42}n^2+43 $ ossia
$ \displaystyle\frac{(42)(43)(42)}{2}-\displaystyle\frac{(42)(43)(85)}{6}+43 $
ossia calcolatrice alla mano $ 12384 $... sono quasi sicuro che ci sia qualcosa di sbagliato ma non riesco a trovarlo...

puk
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Messaggio da puk » 10 nov 2007, 12:18

ossia $ \displaystyle\frac{42*43}{2}-\displaystyle\frac{(42-n)(43-n)}{2}-\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}+1 $
non dovrebbe essere alla fine +42, cioè non andrebbe sommato anche l'uno?

puk
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Messaggio da puk » 10 nov 2007, 12:26

P.s.la mia era tutta sbagliata, come previsto, perchè al posto di sottrarre le somme da 1 a n +1, avevo sottratto n+1... :twisted:

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moebius
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Messaggio da moebius » 12 nov 2007, 00:39

Mi sembra di aver ragionato allo stesso modo ma mi viene:
$ ~\frac{n^3+5n}{6}+1 $
che per n=42 mi da 12377... se fosse sbagliato sappiate che non ho sbagliato da solo.
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Alex89
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Messaggio da Alex89 » 12 nov 2007, 15:35

@puk: no è proprio +43, perchè devi sommare anche il caso con 0 problemi.

@moebius: Prova a rifare i conti; $ ~\frac{n^3+5n}{6}+1 $ per n=42 fa 12384!

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 12 nov 2007, 20:20

Alex89 ha scritto:ossia calcolatrice alla mano $ 12384 $... sono quasi sicuro che ci sia qualcosa di sbagliato ma non riesco a trovarlo...
mio amico conferma che è giusto
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moebius
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Messaggio da moebius » 13 nov 2007, 11:52

Alex89 ha scritto: @moebius: Prova a rifare i conti; $ ~\frac{n^3+5n}{6}+1 $ per n=42 fa 12384!
Le botti sono piene... è il momento di urlare: "Sono un pirla!" :oops:
Il ragionamento è giusto in due, ma l'errore è tutto mio :oops: :oops: :oops:
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