Consideriamo le permutazioni su n oggetti.
Sia A un insieme di cicli (chiaro cos'è un ciclo, no? ad esempio 1 -> 3 -> 2 -> 4 -> ... -> n -> 1) chiuso rispetto alla composizione. (ci tocca considerare l'identità come un ciclo)
Dimostrare che esiste un elemento di A tale che, componendo tante volte questo elemento, troviamo tutti gli elementi di A.
I cicli son ciclici
Vediamo... intanto vedo che le ipotesi implicano che n è primo. Se n si scompone come n=ab, considero un ciclo $ \sigma \in A $. Allora possiamo vedere facilmente che $ ~ \sigma^a \in A $ non è un ciclo, ma il prodotto di b cicli disgiunti.
(ok, n è un primo o n=1)
Fissiamo $ ~ \tau \in A $ in modo che tau non sia l'identità. Sia $ ~ \sigma \in A $ un qualsiasi elemento di A. Facciamo agire questi cicli su 1,2,...,n. Per un certo k, si avrà $ ~ \sigma^k(1) = \tau(1) $, semplicemente perchè applicando ripetutamente sigma, facciamo girare ad 1 tutti i valori, tra cui anche $ ~ \tau(1) $.
Da $ ~ \sigma^k(1)=\tau(1) $ otteniamo $ ~ \sigma^k \tau^{-1}(1) = 1 $. Faccio notare che $ ~ \sigma^k\tau^{-1} \in A $, quindi è un ciclo o l'identità. Avendo un punto fisso, dovrà essere l'identità. Quindi $ ~ \sigma^k \tau^{-1} = \mbox{id} $, quindi $ ~ \sigma^k = \tau $.
(ok, n è un primo o n=1)
Fissiamo $ ~ \tau \in A $ in modo che tau non sia l'identità. Sia $ ~ \sigma \in A $ un qualsiasi elemento di A. Facciamo agire questi cicli su 1,2,...,n. Per un certo k, si avrà $ ~ \sigma^k(1) = \tau(1) $, semplicemente perchè applicando ripetutamente sigma, facciamo girare ad 1 tutti i valori, tra cui anche $ ~ \tau(1) $.
Da $ ~ \sigma^k(1)=\tau(1) $ otteniamo $ ~ \sigma^k \tau^{-1}(1) = 1 $. Faccio notare che $ ~ \sigma^k\tau^{-1} \in A $, quindi è un ciclo o l'identità. Avendo un punto fisso, dovrà essere l'identità. Quindi $ ~ \sigma^k \tau^{-1} = \mbox{id} $, quindi $ ~ \sigma^k = \tau $.
Ah, capito. 
Abbiamo una definizione diversa di ciclo.
Per te un ciclo e' una permutazione senza punti fissi. Per me invece e' una permutazione, che scritta in cicli disgiunti, ha un solo ciclo [non banale].
Nel secondo caso, basta prendere banalmente il gruppo simmetrico su tre elementi per vedere che non funziona.
Abbiamo una definizione diversa di ciclo.Per te un ciclo e' una permutazione senza punti fissi. Per me invece e' una permutazione, che scritta in cicli disgiunti, ha un solo ciclo [non banale].
Nel secondo caso, basta prendere banalmente il gruppo simmetrico su tre elementi per vedere che non funziona.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Per me un ciclo è una permutazione che, scritta in cicli disgiunti, ha un solo ciclo. 
E inoltre nell'enunciato del problema ho aggiunto che in A ovviamente è ammessa anche l'identità.
Come conseguenza, un ciclo (a meno che non sia sulle permutazioni di un elemento...) non può aver punti fissi, però... mi sa che non ci siamo capiti!
E inoltre nell'enunciato del problema ho aggiunto che in A ovviamente è ammessa anche l'identità.
Come conseguenza, un ciclo (a meno che non sia sulle permutazioni di un elemento...) non può aver punti fissi, però... mi sa che non ci siamo capiti!
Ho capito, e sono d'accordo: avevamo interpretato che cos'e' un ciclo in modo diverso.
Leggiti di grazia come hai scritto la definizione di ciclo. Da li', capire se ci sono o meno punti fissi, non e' esattamente ovvio. Insomma, un 2-ciclo e' un ciclo in S2, ma non lo e' in S3...
Ma mi sembra che il dubbio sia stato chiarito, o no?
Leggiti di grazia come hai scritto la definizione di ciclo. Da li', capire se ci sono o meno punti fissi, non e' esattamente ovvio. Insomma, un 2-ciclo e' un ciclo in S2, ma non lo e' in S3...
Ma mi sembra che il dubbio sia stato chiarito, o no?
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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