Torneo di briscola

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Bertolo
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Torneo di briscola

Messaggio da Bertolo » 26 set 2007, 07:52

Problema:
ho n amici (n≥4) che vogliono organizzare un torneo di briscola con le seguenti regole: ognuno gioca in coppia con ognuno degli altri contro tutte le possibili coppie avversarie...

Esiste una formula che, dato n, mi dice quante sono le partite totali da giocare?

pic88
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Messaggio da pic88 » 26 set 2007, 08:05

Contiamo prima le squadre (ossia quante coppie posso fare da un insieme di n elementi?) e poi le partite (di nuovo, quante coppie posso fare da un insieme di m elementi?).

Quindi la formula è $ \displaystyle {\frac{1}2\frac{n(n-1)}{2} \left(\frac{n(n-1)}{2}-1 \right)} $

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RedII
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Messaggio da RedII » 26 set 2007, 11:14

La mia soluzione non coincide con quella di pic88. :|

In pratica, per contare le diverse partite, mi basta contare tutte le "coppie di coppie" una sola volta. Prima scelgo una coppia tra gli n giocatori, poi ne scelgo una tra gli n-2 giocatori rimasti e infine dimezzo il risultato per considerare le coppie di coppie A,B e B,A equivalenti.

$ \displaystyle \frac{1}2\left(\frac{n(n-1)}{2}\right) \left(\frac{(n-2)(n-3)}{2} \right) = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}8 $

Tra l'altro mi sembra che, considerando n=4, le cui combinazioni si possono trovare facilmente a mano (data una coppia l'altra è univocamente definita, quindi ci basta considerare le coppie a cui può appartenere un giocatore singolo, che sono 3), la mia formula dia come risultato effettivamente 3, mentre quella di pic88 dà 15. Poi magari sono soltanto io che ho letto male il testo...
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Messaggio da fph » 26 set 2007, 13:09

Problemino aggiuntivo... in quanti "turni" si può disputare il torneo?
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julio14
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Messaggio da julio14 » 26 set 2007, 18:19

Mi sa che ha ragione RedII: pic88 ha dimenticato di non far giocare i giocatori contro se stessi...
Cmq fph cosa intendi esattamente con turni?

pic88
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Messaggio da pic88 » 26 set 2007, 19:21

Si è vero l'ho fatto quasi senza leggerlo :roll:

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Messaggio da fph » 26 set 2007, 20:55

julio14 ha scritto:Cmq fph cosa intendi esattamente con turni?
Tipo le "giornate" di un campionato. Riformulo...
Per quali k possiamo "colorare" le partite da giocare di k colori diversi in modo che lo stesso giocatore non compaia mai in due partite dello stesso colore?
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Messaggio da Sherlock » 27 set 2007, 23:21

lol pic ha risposto in 13 minuti, io per scrivere quella formula ci metto di + :?
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Bertolo
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Messaggio da Bertolo » 29 set 2007, 09:20

Per le partite totali io ho trovato due formule:

$ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}*3 = C_{n,4}*3 $

Cioè le possibili quaterne moltiplicate per le tre partite che faccio con ogni quaterna.

L'altra formula é

$ \sum_{i=4}^n \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{2} $

cioè i possibile compagni per un giocatore moltiplicati per le possibili coppie avversarie; più tutte le partite del sottotorneo che non lo comprende, fino a 4 giocatori, torneo nel quale nessuno riposa.

Il numero di partite in una giornata dovrebbe essere uguale a $ [\frac{n}{4}] $, poichè in una partita giocano 4 giocatori, quindi le giornate diventano pari alle partite diviso questo numero, cioè
$ \frac{C_{n,4}*3}{[\frac{n}{4}]} $

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Messaggio da fph » 29 set 2007, 11:21

Bertolo ha scritto: Il numero di partite in una giornata dovrebbe essere uguale a $ [\frac{n}{4}] $, poichè in una partita giocano 4 giocatori, quindi le giornate diventano pari alle partite diviso questo numero, cioè
$ \frac{C_{n,4}*3}{[\frac{n}{4}]} $
Già, ma chi ti dice che si riesca a organizzare il campionato? Per esempio se in un gioco "1 contro 1" hai 4 giocatori A,B,C,D e devi fare le partite A vs B, A vs C, A vs D e B vs C, allora "in teoria" ti bastano 4/2=2 giornate, ma in realtà non riesci a farlo perché A gioca in troppe partite.
Non è un risultato banalissimo che esistano gironi all'italiana per tutti i campionati di 2n squadre (chi era al preIMO l'anno scorso dovrebbe ricordarselo... :D)
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