Ammissione Normale 2007. Quesito Fresco Fresco

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Russell
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Messaggio da Russell » 01 set 2007, 19:12

Ma sei sicuro che quella funzione ricorsiva porti a f(7)=34 ?
A me viene un altro valore...
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Zoidberg
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Messaggio da Zoidberg » 01 set 2007, 19:15

$ ~f(n) $ dovrebbe essere l'ennesimo numero di Fibonacci.
Ma non ho provato a dimostrarlo!
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piever
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Messaggio da piever » 01 set 2007, 19:27

:shock:

A me sembrava che la serie fosse:

1 2 3 5 8 13 21 34...

Comunque sì, per induzione $ f(n)=F_{n+2} $, non ci avevo fatto caso, complimenti per l'occhio zoidberg...
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Russell
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Messaggio da Russell » 01 set 2007, 19:37

piever ha scritto: $ f(n)=2f(n-1)-f(n-3) $ per $ n\ge 3 $ con $ f(0)=1 $, $ f(1)=2 $ e $ f(2)=3 $
Zoidberg ha scritto: $ f(n) $ dovrebbe essere l'ennesimo numero di Fibonacci.
La funzione ricorsiva che genera i numeri di Fibonacci è data da
$ f(n)=f(n-1)+f(n-2) $ con $ n=2,3,4... $ ed è esplicitata da:
$ \displaystyle f(n)=\frac{1}{\sqrt5}\left\{{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)}^n\right\} $

Non so se le due si equivalgano.
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Juggler
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Messaggio da Juggler » 01 set 2007, 19:49

Russell ha scritto: Non so se le due si equivalgano.
da fibonacci $ f(n-2)=f(n-1)-f(n-3) $
quindi $ f(n)=2f(n-1)-f(n-3) $ che e' quella di piever

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Zoidberg
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Messaggio da Zoidberg » 01 set 2007, 20:21

piever ha scritto:non ci avevo fatto caso, complimenti per l'occhio zoidberg...
Neanch'io ci avevo fatto caso all'inizio!
Me l'hanno fatto notare più illustri colleghi! :D
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Messaggio da Agi_90 » 01 set 2007, 23:51

Ragazzi ho risolto l'esercizio e in effetti mi viene $ \displaystyle \frac{34}{128} $ ma non ho capito la soluzione di piever...? :oops: Come mai la probabilità si puo' calcolare così? :oops:

(scusate l'ignoranza)
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zancus
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Messaggio da zancus » 02 set 2007, 22:00

Russell ha scritto:2° CASO: I distributori chiusi sono 3
Allora i distributori aperti sono 4, e tra due di essi vi è al più un distributore chiuso. Schematizziamo la sequenza in questo modo: XAXAXAXAX (dove 2 X sono ovviamente vuote). Gli ordinamenti favorevoli sono dati da $ {5\choose3} =10 $ (altri 10 ordinamenti)
Premetto che per me la combinatoria è una scienza oscura... comunque potresti spiegarmi che ragionamento hai fatto in questo passaggio?
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The Raven
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Messaggio da The Raven » 05 set 2007, 23:40

Agi:

Chiama a(n) la probabilita' di arrivare dopo n*100 chilometri con il serbatoio vuoto e b(n) quella di arrivare col serbatoio a meta'.

Se il distributore e' aperto puoi fare il pieno e usare meta' della tua autonomia per percorrere i successivi 100 chilometri, quindi a(n+1)=b(n)/2;
se il distributore e' chiuso, puoi proseguire solo se hai ancora della benzina, consumandola tutta, quindi b(n+1)=(a(n)+b(n))/2.

Per toglierti quel fastidioso fattore due puoi considerare A(n)=a(n)*2^n e B(n)=b(n)*2^n. Ora hai A(n+1)=B(n) e B(n+1)=A(n)+B(n), quindi B(n+2)=B(n+1)+B(n).

:)



PS: umma e grane, bella soluzione fare le tabeline dei casi... :p
"Nevermore"

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wolverine
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Messaggio da wolverine » 11 nov 2007, 18:57

Accidenti che occhio! Io avrei potuto calcolarmi i primi cento termini della ricorsione e non accorgermi che quelli che venivano fuori erano i numeri di Fibonacci... :)

Comunque, in generale, per esplicitare una ricorsione tipo la successione di Piever $ f(n)=2f(n-1)-f(n-3) $ basta osservare che se $ x $ e' una radice dell'equazione $ x^n=2x^{n-1}-x^{n-3}=0 $, ovvero dell'equazione
$ x^{n-3}(x^3-2x^2+1)=0 $, allora la successione $ f(n)=x^n $ soddisfa proprio la ricorrenza data. Inotre, se $ f_1(n) $ e $ f_2(n) $ soddisfano la ricorsione data, allora anche $ f(n)=a\,f_1(n)+b\,f_2(n) $ soddisfa la ricorsione data, per ogni scelta delle costanti $ a $ e $ b $. Indichiamo allora con $ \xi_1,\xi_2,\xi_3 $ le tre radici (in generale saranno complesse, anche se in questo esempio particolare sono in effetti tutte e tre reali) di $ x^3-2x^2+1=0 $. Per ogni scelta dei parametri $ a,b,c $, la succesione $ f_{a,b,c}(n)=a\, {\xi_1}^n+b\,{\xi_2}^n+c\,{\xi_3}^n $ soddisfa la ricorsione. A questo punto basta determinare $ a,b,c $ imponendo i valori iniziali $ f_{a,b,c}(0)=1,f_{a,b,c}(1)=2,f_{a,b,c}(2)=3 $ (si tratta semplicemente di risolvere un sistema lineare; se le radici dell'equazione sono tutte distinte come in questo caso il sistema e' sempre risolubile) per determinare completamente la formula esplicita per la successione.

(forse questo post andrebbe scritto un po' meglio, espanso magari dicendo cosa fare quando l'equazione associata alla ricorsione ha radici coincidenti, e spostato nella sezione "tecniche di base"; mi affido ai moderatori)
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_Francesca_
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Messaggio da _Francesca_ » 10 dic 2007, 06:03

Premettendo che non credo sarei riuscita a risolverlo, ho letto e capito la soluzione di Russell e degli altri, che penso proprio sia giusta. Solo una domanda, e scusate se vi risulta banale. Il fatto che ci sia il 50% delle probabilità di trovare il distributore aperto/chiuso, non influisce affatto sulla soluzione? Se non influisce, è forse perché appunto le probabilità di trovarli aperti o di trovarli chiusi sono uguali?
Che genere di soluzione avrei ottenuto se, invece, la probabilità che ogni distributore fosse aperto, fosse stata (ad esempio) del 75%?

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