SSSUP (opuscolo) n.15

Conteggi, probabilità, invarianti, logica, matematizzazione, ...
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edgar89
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SSSUP (opuscolo) n.15

Messaggio da edgar89 » 20 ago 2007, 11:15

dunque è matematizzazione più che combinatoria, comunque...

"Un'automobile ha inizialmente il serbatoio vuoto e deve percorrere un circuito circolare in senso antiorario. Per percorrere la pista è necessaria una certa quantità di carburante che è divisa in 3 parti non necessariamente uguali. Dimostrare che comunque si dispongano sul circuito i tre rifornimenti esiste sempre un punto partendo dal quale l'automobile riesce a completare il percorso. Si provi a generalizzare la proposizione nel caso di n rifornimenti"

Allora eccovi la mia dimostrazione (sbagliata probabilmente...)

poichè la macchina ha il serbatyoio vuoto il punto dal quale deve partire è uno dei tre rifornimenti stessi.
Chiamiamo A, B , C questi punti.

Se la macchina parte da A e si accorge che quella benzina basta solo per un tratto AA'<AB taloe che AA'+A'B=AB allora può provare a partire da B.
Tuttavia anche in B potrebbe non bastare il carburante e potrebbe bastare solo per un tratto BB' tale che BB'+B'C=BC.

Poichè il carburante necessario totale K=A+B+C si avrà che C=K-A-B cioè basterà a percorrere:

ossia K-AA'-BB'=BC+A'B+B'C (questa considerazione si effettua graficamente volendo)

quindi partendo da C la macchina arriva in A con carburante diciamo h
in A avra carburante h+w (dove w basta per AA')
arrivato in A' essa avrà ancora carburante h che per quanto detto basta per fare A'B+B'C. Arriverà in B con carburante h+z (dove z serve a fare A'B)
in B' avrà ancora carburante h che consumerà arrivando in C

la generalizzazione si effettua secondo me imponendo due ipotesi:

a)la situazione è simile al caso di tre rifornimenti
b)il carburante in più contenuto nell'n-simo rifornimento è ripartito in h<=n rifornimenti...
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jordan
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Messaggio da jordan » 20 ago 2007, 19:47

senti un po la mia...

premetto che non so usare il latex e con P indico il pi greco.

allora, a meno di rotazioni e omotetie possiamo considerare la circonferenza goniometrica di raggio 1 e centro nell'origine e poniamo il punto A in (1, 0) il punto B in (cos x, sen x) e infine C in (cos y, sen y), ponendo per ipotesi 0<x<y<2P, tutti espressi in radianti.
il consumo della makkina è costante pari a L litri totali su 2P cioè (L/2P).
poniamo allora che nel punto A ci siano a litri, in B ci siano b litri e in C ci siano (L-a-b) litri, con 0<a<b<L.
fin qui senza tutto senza perdita di generalità, wlog.
il consumo nel tratto AB è chiaramente (Lx/2P).
il consumo nel tratto AB è chiaramente (L(y-x)/2P).
il consumo nel tratto AB è chiaramente (L(2P-y)/2P).
abbiamo tre equazioni.
mettiamo per assurdo la prima equazione minore di a litri, la seconda minore di b la terza minore di (L-a-b).
sommiamo tutto.
L<L, assurdo.fine
il caso n è identico

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edgar89
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Messaggio da edgar89 » 20 ago 2007, 20:04

jordan ha scritto:senti un po la mia...

premetto che non so usare il latex e con P indico il pi greco.

allora, a meno di rotazioni e omotetie possiamo considerare la circonferenza goniometrica di raggio 1 e centro nell'origine e poniamo il punto A in (1, 0) il punto B in (cos x, sen x) e infine C in (cos y, sen y), ponendo per ipotesi 0<x<y<2P, tutti espressi in radianti.
il consumo della makkina è costante pari a L litri totali su 2P cioè (L/2P).
poniamo allora che nel punto A ci siano a litri, in B ci siano b litri e in C ci siano (L-a-b) litri, con 0<a<b<L.
fin qui senza tutto senza perdita di generalità, wlog.
il consumo nel tratto AB è chiaramente (Lx/2P).
il consumo nel tratto AB è chiaramente (L(y-x)/2P).
il consumo nel tratto AB è chiaramente (L(2P-y)/2P).
abbiamo tre equazioni.
mettiamo per assurdo la prima equazione minore di a litri, la seconda minore di b la terza minore di (L-a-b).
sommiamo tutto.
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decisamente più convincente, per lo meno hai messo in ballo roba matematica e non solo considerazioni grafiche...
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Juggler
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Messaggio da Juggler » 20 ago 2007, 22:19

ora la mia, non ho idea se vada bene

abbiamo 3 punti(rifornimenti) in una circonferenza, diciamo a,b,c disposti ordinatamente in senso antiorario. almeno uno dei 3 archi da essi formati è superabile con il carburante contenuto nel punto che lo inizia perché se non lo fosse allora la somma dei 3 rifornimenti non sarebbe sufficiente a superare l'intera pista. Ora se ce ne solo uno il problema è banale in quanto iniziando da esso sicuramente si riesce a terminare la pista, se ce ne fossero 3 in pratica ogni rifornimento permetterebbe di arrivare esattamente a quello successivo, quindi supponiamo che ce ne siano 2, i casi possono essere ab,ac,bc e iniziando da (nell'ordine) a,c,b si avrebbe sufficiente carburante per finire la corsa.



EDIT: maledetta lingua italiana :lol:
Ultima modifica di Juggler il 21 ago 2007, 10:08, modificato 2 volte in totale.

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jordan
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Messaggio da jordan » 21 ago 2007, 09:46

cioe, vuoi dimostrare che si puo terminare la corsa? e in generale poi?

cmq x Juggler "ce ne siano" non si scrive "c'è ne siano" :D

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Messaggio da Juggler » 21 ago 2007, 10:04

jordan ha scritto:cioe, vuoi dimostrare che si puo terminare la corsa?
hem non chiedeva questo il problema?

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edgar89
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Messaggio da edgar89 » 21 ago 2007, 11:53

non ho capito bene quando dici "se ce ne fossero 3 in pratica ogni rifornimento permetterebbe di arrivare esattamente a quello successivo"
cioè il carburante non è diviso in parti necessariamente uguali...
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Messaggio da Juggler » 21 ago 2007, 12:18

edgar89 ha scritto:non ho capito bene quando dici "se ce ne fossero 3 in pratica ogni rifornimento permetterebbe di arrivare esattamente a quello successivo"
cioè il carburante non è diviso in parti necessariamente uguali...
non lo ho mai detto che devono essere uguali
"almeno uno dei 3 archi da essi formati è superabile con il carburante contenuto nel punto che lo inizia", se tutti è tre gli archi sono "superabili" con il carburante fornito dal rifornimento che inizia quell'arco (in senso antiorario ovviamente) allora dato che la quantità di carburante totale(la somma dei 3) è sufficiente per fare esattamente un solo giro della circonferenza i 3 rifornimenti devono fornire esattamente il carburante per arrivare al rifornimento successivo seno' si avrebbe una quantità di carburante superiore a quella necessaria per completare un giro.

spero di essermi spiegato

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Messaggio da Juggler » 21 ago 2007, 12:50

jordan ha scritto:senti un po la mia...

premetto che non so usare il latex e con P indico il pi greco.

allora, a meno di rotazioni e omotetie possiamo considerare la circonferenza goniometrica di raggio 1 e centro nell'origine e poniamo il punto A in (1, 0) il punto B in (cos x, sen x) e infine C in (cos y, sen y), ponendo per ipotesi 0<x<y<2P, tutti espressi in radianti.
il consumo della makkina è costante pari a L litri totali su 2P cioè (L/2P).
poniamo allora che nel punto A ci siano a litri, in B ci siano b litri e in C ci siano (L-a-b) litri, con 0<a<b<L.
fin qui senza tutto senza perdita di generalità, wlog.
il consumo nel tratto AB è chiaramente (Lx/2P).
il consumo nel tratto AB è chiaramente (L(y-x)/2P).
il consumo nel tratto AB è chiaramente (L(2P-y)/2P).
abbiamo tre equazioni.
mettiamo per assurdo la prima equazione minore di a litri, la seconda minore di b la terza minore di (L-a-b).
sommiamo tutto.
L<L, assurdo.fine
il caso n è identico
se non ho capito male così dimostri soltanto che ci deve essere almeno un rifornimento con carburante sufficiente a superare l'arco che inizia

p.s. hai scritto 3 volte AB al posto di AB,BC,AC

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jordan
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Messaggio da jordan » 21 ago 2007, 19:34

ehm..ho fatto copia incolla, cmq hai ragione su quello ke ho dimostrato, il resto lhai finito tu

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