Probabilità e cubi

[moebius]

Avete un cubo trasparente (che è più bello!)... Decidete di colorare l'esterno di nero (questo non è tanto bello). Adesso decidete di andare dal vostro falegname di fiducia e farvi segare in cubo in 27 cubetti uguali.
Adesso, per dar sfogo alla vostra schizzofrenia dilagante, decidete di armarvi di attack e ricomporre il cubo... solo che fa caldo e la voglia passa in fretta... In fondo il cubo era trasparente, quindi visto da lontano comunque lo rimontiate probabilmente sembrerà nero... Ma che probabilità avete, ricomponendolo a caso, che le faccie esterne tornino ad essere effettivamente nere?

[3C273]

Allora... potrei benissimo aver sbagliato, ma mi risulta una cosa dell'ordine di $ 10^{-37} $...

Ho 8 cubetti con tre facce nere che devono stare agli 8 vertici, 12 cubetti con 2 facce nere che devono stare sugli spigoli, 6 cubetti con una faccia nera che devono stare in mezzo alle facce del cubo, 1 cubetto trasparente che deve stare al centro. Inoltre, questi cubetti devono essere orientati nella maniera giusta.

In totale, posso disporre i cubetti in $ 27!\,24^{27} $ modi, perchè i cubetti sono 27 e ciascuno può ossere orientato in 24 modi (scelgo la faccia di appoggio tra 6 e l'orientazione tra 4 possibili).

Scelti gli 8 cubetti d'angolo, posso permutarli tra loro; inoltre ognuno può essere orientato in 3 modi in modo che le tre facce nere rimangano all'esterno: $ 8!\,3^{8} $.
Analogamente ho 2 possibili orientazioni per i cubetti di spigolo, 4 per quelli in mezzo alle facce e tutte e 24 per quello centrale. Inoltre posso permutare all'interno di ciascun gruppetto.

Conclusione: la probabilità di incollare "bene" il cubo DOVREBBE essere:
$ \frac{8!\,12!\,6!\,3^{8}\,2^{12}\,4^{6}\,24}{27!\,24^{27}} $

Ora sta a voi calcolare la probabilità che quello che io ho scritto sia corretto!!!

(Appena ho finito di leggere il problema mi è venuta in mente un'estensione immediata, ma credo sia da pazzi mettersi lì a farlo, quindi ve lo dico ma NON vi invito a provarci! Quindi, l'estensione è questa: visto che vorrei che il cubo SEMBRASSE nero, vuol dire che guardandoci attraverso NON voglio vedere dall'altra parte. Mi chiedo qual è la probabilità che, incollandolo a caso, qualsiasi "linea di vista" - cioè retta - parallela a uno degli spigoli del cubo intercetti almeno una faccia nera. Lasciamo perdere le linee di vista non parallele ad uno spigolo, perchè è già un delirio così... poi magari considerare anche le rette "oblique" può diventare la terza estensione... Ecco io l'ho detto ma voi NON FATELO, le case di cura sono in agguato!!! )

[moebius]

Non spererai mica che io abbia fatto il conto... mi sono limitato ad osservare che esisteva una soluzione e sono tornato a dormire ... Ah no! Quello era il matematico della barzelletta!
BTW, mi sembra giusto
Per l'estensione... ma secondo te perchè ho scritto tutto quel delirio prima? Era la domanda successiva
Eh si, le case di cura son sempre aperte e piene di matematici che hanno deciso di fare conti...
Ovviamente se qualcuno i conti si vuol cimentare

[3C273]

Ci sto provando, ma è troppo un delirio..... AIUTOOOO!
Qui o salta fuori un'idea per semplificare il problema oppure c'è ben poco da fare se non contare nel senso preistorico della parola!