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France TST 2007 numero 4
Inviato: 05 giu 2007, 04:42
da cerise
Ecco un esercizio del test francese per selezionare la squadra delle OIM. Se non capite, posso fare una traduzione.
Exercice 4 :
Peut-on trouver 5 points dans l'espace tels qu'il y en ait toujours 2 dont la distance soit n avec $ n\in \{1,2,...10\} $ ?
Re: France TST 2007 numero 4
Inviato: 05 giu 2007, 10:45
da 3C273
cerise ha scritto:Peut-on trouver 5 points dans l'espace tels qu'il y en ait toujours 2 dont la distance soit n avec $ n\in \{1,2,...10\} $ ?
Puoi dirmi se la traduzione è giusta per favore? L'ho fatta "inventando" un po'! Grazie!
Si possono trovare 5 punti nello spazio tali che ce ne siano sempre 2 tra i quali la distanza sia n con $ n\in \{1,2,...10\} $ ?
Inviato: 05 giu 2007, 12:33
da cerise
Si, c'è giusto
Inviato: 05 giu 2007, 16:58
da moebius
Grazie per la traduzione... il mio francese si ferma a "toute la vie"
Comunque direi che non è possibile
Inviato: 05 giu 2007, 17:36
da Sepp
Le dieci distanze tra due dei cinque punti devono essere tutte distinte.
Prendiamo i due punti con distanza 1 e colleghiamoli agli altri tre. Per la disuguaglianza triangolare la differenza tra i due lati di lunghezza diversa da uno è in modulo un intero maggiore di 0 e minore o uguale a 1, quindi 1.
I cinque punti sono allineati.
Siano A, B, C, D, E nell'ordine. Allora AB + BC + CD + DE = 10 e tali segmenti hanno lunghezze 1, 2, 3, 4. Se l'1 stà di fianco al 2 o al 3 si ha un assurdo, idem se non è vicino ad essi.
Inviato: 05 giu 2007, 19:05
da edriv
Il tuo wlog non mi convince, potrebbero essere in un altro ordine. Si può concludere dicendo che il segmento lungo 1 non è vicino a quello lungo 2 o a quello 3, ma questo implica 1 vicino a 4 e 2 vicino a 3, assurdo.
Inviato: 05 giu 2007, 19:26
da Sepp
Vero!
Inviato: 05 giu 2007, 19:37
da fph
A dirla tutta, anche il tuo "per la disuguaglianza triangolare" non mi convince.
Inviato: 05 giu 2007, 20:01
da edriv
Sì è vero: però se prendiamo i punti con distanza 1, e usiamo il fatto che tutte le distanze sono intere, sempre usando la disuguaglianza triangolare, possiamo aggiustare la soluzione di Sepp.
Inviato: 05 giu 2007, 20:38
da Sepp
Mamma mia che mostro che ho creato! Correggo sopra!
Inviato: 09 giu 2007, 17:15
da Marco
Boh, non ho capito come conclude Sepp dopo aver detto che sono allineati, ma si può procedere così:
I punti più distanti devono avere per forza di cose distanza 10. Per capirci, fissiamo le ascisse in modo che siano i punti 0 e 10. I punti devono avere coordinate intere (altrimenti si trovano distanze non intere). La coppia di punti a distanza 9 deve essere 0-9, o 1-10. Wlog, supponiamo sia 1-10, quindi l'insieme contiene punti 0,1,10.
I punti a distanza 8 possono essere 0-8, oppure 1-9 (impossibile: 9-10 ha distanza 1 che è già presa), oppure 2-10 (impossibile per 1-2 che ha distanza 1). Quindi anche 8 è nell'insieme.
3 non è nell'insieme (1-3 = 8-10); 6 non è (6-8 = 8-10); 5 non è (0-5 = 5-10); 7 non è (7-8 = 0-1); 4 non è (0-4 = 4-8). Quindi l'insieme non può essere costruito. []
Inviato: 11 giu 2007, 11:21
da moebius
Mumble...
Non mi pronuncio sulla soluzione di Sepp perchè... non l'ho capita
Volevo solo fare una riflessione... Se postate una soluzione (e non siete pigri come il sottoscritto
), perchè omettere passaggi?