France TST 2007 numero 4

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cerise
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France TST 2007 numero 4

Messaggio da cerise » 05 giu 2007, 04:42

Ecco un esercizio del test francese per selezionare la squadra delle OIM. Se non capite, posso fare una traduzione.

Exercice 4 :

Peut-on trouver 5 points dans l'espace tels qu'il y en ait toujours 2 dont la distance soit n avec $ n\in \{1,2,...10\} $ ?

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3C273
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Re: France TST 2007 numero 4

Messaggio da 3C273 » 05 giu 2007, 10:45

cerise ha scritto:Peut-on trouver 5 points dans l'espace tels qu'il y en ait toujours 2 dont la distance soit n avec $ n\in \{1,2,...10\} $ ?
Puoi dirmi se la traduzione è giusta per favore? L'ho fatta "inventando" un po'! Grazie!
Si possono trovare 5 punti nello spazio tali che ce ne siano sempre 2 tra i quali la distanza sia n con $ n\in \{1,2,...10\} $ ?

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cerise
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Messaggio da cerise » 05 giu 2007, 12:33

Si, c'è giusto :-)

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moebius
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Messaggio da moebius » 05 giu 2007, 16:58

Grazie per la traduzione... il mio francese si ferma a "toute la vie" :D
Comunque direi che non è possibile :P
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Sepp
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Messaggio da Sepp » 05 giu 2007, 17:36

Le dieci distanze tra due dei cinque punti devono essere tutte distinte.
Prendiamo i due punti con distanza 1 e colleghiamoli agli altri tre. Per la disuguaglianza triangolare la differenza tra i due lati di lunghezza diversa da uno è in modulo un intero maggiore di 0 e minore o uguale a 1, quindi 1.
I cinque punti sono allineati.
Siano A, B, C, D, E nell'ordine. Allora AB + BC + CD + DE = 10 e tali segmenti hanno lunghezze 1, 2, 3, 4. Se l'1 stà di fianco al 2 o al 3 si ha un assurdo, idem se non è vicino ad essi.
Ultima modifica di Sepp il 05 giu 2007, 20:50, modificato 1 volta in totale.

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edriv
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Messaggio da edriv » 05 giu 2007, 19:05

Il tuo wlog non mi convince, potrebbero essere in un altro ordine. Si può concludere dicendo che il segmento lungo 1 non è vicino a quello lungo 2 o a quello 3, ma questo implica 1 vicino a 4 e 2 vicino a 3, assurdo.

Sepp
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Messaggio da Sepp » 05 giu 2007, 19:26

Vero! :)

fph
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Messaggio da fph » 05 giu 2007, 19:37

A dirla tutta, anche il tuo "per la disuguaglianza triangolare" non mi convince.
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edriv
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Messaggio da edriv » 05 giu 2007, 20:01

Sì è vero: però se prendiamo i punti con distanza 1, e usiamo il fatto che tutte le distanze sono intere, sempre usando la disuguaglianza triangolare, possiamo aggiustare la soluzione di Sepp.

Sepp
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Messaggio da Sepp » 05 giu 2007, 20:38

Mamma mia che mostro che ho creato! Correggo sopra! :shock:

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Marco
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Messaggio da Marco » 09 giu 2007, 17:15

Boh, non ho capito come conclude Sepp dopo aver detto che sono allineati, ma si può procedere così:
I punti più distanti devono avere per forza di cose distanza 10. Per capirci, fissiamo le ascisse in modo che siano i punti 0 e 10. I punti devono avere coordinate intere (altrimenti si trovano distanze non intere). La coppia di punti a distanza 9 deve essere 0-9, o 1-10. Wlog, supponiamo sia 1-10, quindi l'insieme contiene punti 0,1,10.

I punti a distanza 8 possono essere 0-8, oppure 1-9 (impossibile: 9-10 ha distanza 1 che è già presa), oppure 2-10 (impossibile per 1-2 che ha distanza 1). Quindi anche 8 è nell'insieme.

3 non è nell'insieme (1-3 = 8-10); 6 non è (6-8 = 8-10); 5 non è (0-5 = 5-10); 7 non è (7-8 = 0-1); 4 non è (0-4 = 4-8). Quindi l'insieme non può essere costruito. []
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moebius
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Messaggio da moebius » 11 giu 2007, 11:21

Mumble...
Non mi pronuncio sulla soluzione di Sepp perchè... non l'ho capita :P
Volevo solo fare una riflessione... Se postate una soluzione (e non siete pigri come il sottoscritto :roll: ), perchè omettere passaggi? :wink:
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