(Probabilità che) Vinca il migliore

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Gara Telematica Unimi, Puntata 4, Problema 4 (a mio avviso il più carino di questa puntata)

Due giocatori, A e B, si sfidano facendo diverse partite e il gioco termina quando uno dei due giocatori raggiunge un totale di n vittorie (con n fissato all’inizio). Supponiamo che gli esiti delle diverse partite siano indipendenti e che il giocatore A sia il migliore (nel senso che la sua probabilità di vittoria nella singola partita sia pari a $ p $ con $ p>\frac{1}{2} $). Dimostrare che la probabilità che il torneo abbia come vincitore A è una funzione crescente di n (ovvero che più grande è il numero di vittorie che si richiede, maggiore è la probabilità che vinca il migliore).